Теорема виродженості

Теорема виродженості — теорема стосовно обернення блочної матриці, яка стверджує, що ступінь виродження, тобто розмірність нуль-простору блока в матриці дорівнює ступеню виродження доповняльного блока в оберненій матриці.

Розбиття матриці і оберненої до неї на чотири підматриці:

${\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}E& F\\ G& H\end{array}\right].$

Розбиття у правій частині рівняння повинно бути транспонованим щодо розбиття лівої частини, тобто, якщо A є блоком m-на-n тоді E має бути блоком n-на-m.

Теорема стверджує, що:

$\begin{array}{cc}\mathrm{nullity}A& =\mathrm{nullity}H,\\ \mathrm{nullity}B& =\mathrm{nullity}F,\\ \mathrm{nullity}C& =\mathrm{nullity}G,\\ \mathrm{nullity}D& =\mathrm{nullity}E.\end{array}$

Загальніше, якщо підматриця утворена з рядків з індексами {i₁, i₂, …, i_m} і стовпчиків з індексами {j₁, j₂, …, j_n}, тоді доповняльна матриця утворена з рядків з індексами {1, 2, …, N} \ {j₁, j₂, …, j_n} і стовпчиків з індексами {1, 2, …, N} \ {i₁, i₂, …, i_m}, де N це розмір цілої матриці. Теорема виродженості стверджує, що розмірність нуль-простору будь-якої підматриці дорівнює розмірності нуль-простору доповняльної підматриці в оберненій матриці.

Доведення

Припустимо, що $\text{n}(A)\le \text{n}(H).$ Якщо це не так, ми можемо довести теорему для матриць

${\left[\begin{array}{cc}D& C\\ B& A\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}H& G\\ F& E\end{array}\right],$

які також обернені одна до одної. Припустимо, що $\text{n}(H)>0$ інакше $\text{n}(A)=0$ і теорема доведена.

Коли $\text{n}(H)=c>0,$ тоді існує матриця $K$ з $c$ лінійно незалежними стовпчиками, такими що $HK=0.$ Отже, домножуючи наступне рівняння на $K$ праворуч:

$AF+BH=0$

ми отримуємо, що

$AFK=0.$

Застосовуючи таку саму дію до відношення

$CF+DH=I,$

маємо, що $CFK=K,$ звідси, використовуючи властивість рангу добутку матриць, у нашому випадку $C$ і $FK,$ робимо висновок, що $\text{rank}(FK)\ge c.$

Використовуючи ці два твердження разом, ми виводимо

$\text{n}(A)\ge \text{rank}(FK)\ge c=\text{n}(H).$

Разом із нашим припущенням, що $\text{n}(A)\le \text{n}(H),$ це доводить теорему.