Квазі-арифметичне середнє

Квазі-арифметичне середнє (середнє за Колмогоровим) для дійсних чисел $x_{1}, \dots, x_{n}$ визначається як

M_{f} (x_{1}, \dots, x_{n}) = f^{- 1} (\frac{f (x_{1}) + \dots + f (x_{n})}{n})

де $f$ — неперервна строго монотонна функція, а $f^{- 1}$ — обернена функція до $f$ .

Часткові випадки

При $f (x) = x$ — отримуємо $M_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \frac{x_{1} + \dots + x_{n}}{n}$ — середнє арифметичне (AM),
При $f (x) = \log x$ — отримуємо $M_{0} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sqrt[n]{x_{1} \cdot \dots \cdot x_{n}}$ — середнє геометричне (GM),
При $f (x) = x^{- 1}$ — отримуємо $M_{- 1} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \frac{n}{\frac{1}{x_{1}} + \dots + \frac{1}{x_{n}}}$ — середнє гармонійне (HM),
При $f (x) = x^{2}$ — отримуємо $M_{2} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sqrt{\frac{x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{n}}$ — середнє квадратичне (RMS),
При $f (x) = x^{p}, p \neq 0$ — отримуємо $M_{p} (x_{1}, \dots, x_{n}) = {(\frac{x_{1}^{p} + \dots + x_{n}^{p}}{n})}^{\frac{1}{p}}$ — середнє степеневе.

У 1930 році А. М. Колмогоров довів, що будь-яка середня величина має вигляд функції $M (x_{1} \dots, x_{n})$ , якщо володіє властивостями:

неперервна та монотонна по кожному $x_{i}, i = 1, \dots, n,$
симетрична (значення не змінюється при перестановці аргументів)
деяку групу значень можна замінити їх власним середнім, не міняючи спільного середнього.

Середні Колмогорова використовують в прикладній статистиці і економетриці.