Оператор Лапласа

Шаблон:Числення Опера́тор Лапла́са — дія над скалярним або векторним полем, що визначається, як сума других часткових похідних по кожній декартовій координаті. Позначається $\mathrm{\Delta }$ або ${\mathrm{\nabla }}^2$.

Для тривимірного простору

$\mathrm{\Delta }=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$

Оператор Лапласа часто використовується в математичній і теоретичній фізиці.

Справедливе співвідношення:

$\mathrm{\Delta }={\mathrm{\nabla }}^2=\text{div}\mathrm{\nabla }$.

Названий на честь французького математика Лапласа.

Оператор Лапласа в криволінійних системах координат

Циліндрична система координат

$\mathrm{\Delta }=\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial }{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$.

Сферична система координат

$\mathrm{\Delta }=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial }{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2}$.

Застосування

За допомогою даного оператора зручно записувати рівняння Лапласа, Пуассона і хвильове рівняння. У фізиці оператор Лапласа застосовується в електростатиці і електродинаміці, в багатьох рівняннях фізики суцільних середовищ, а також при вивченні рівноваги мембран, плівок або поверхонь розділу фаз з поверхневим натягом (див. Лапласовий тиск), у стаціонарних задач дифузії та теплопровідності, які зводяться неперервним граничним переходом до звичайних рівнянь Лапласа або Пуассона чи до деяких їх узагальнень.

Див. також

• Оператор Гамільтона
• Оператор д'Аламбера
• Оператор (фізика)
• Оператор (математика)

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч2