Диференціал (математика)

Приріст та лінійна частина приросту функції однієї змінної

Диференціал в математиці — головна, лінійна відносно приросту аргументу, частина приросту функції або відображення. В математичному аналізі диференціал традиційно вважається нескінченно малим приростом змінної. Наприклад, якщо x — змінна, тоді приріст значення x часто позначається Δx (чи δx, якщо цей приріст малий). Диференціал dx також є таким приростом, але нескінченно малим. Варто зазначити, що таке визначення не є математично строгим, але воно зручне для розуміння, також існує багато способів зробити визначення математично точнішим.

Головна властивість диференціалу: якщо y функція від x, тоді диференціал dy від y пов'язаний з dx формулою:

$\mathrm{d}y=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x,$

де dy/dx позначає похідну від y по змінній x. Ця формула підсумовує інтуїтивне твердження, що похідна y по змінній x це границя відношення приростів Δy/Δx де Δx прямує до нуля.

1. Диференціал як лінійне відображення. Цей підхід є основою визначення повної похідної і зовнішньої похідної в диференціальній геометрії.
2. Диференціал як нільпотентний елемент в комутативних кільцях. Такий підхід популярний в алгебраїчній геометрії.

Ці підходи дуже різні, але їх об'єднує ідея кількісного, тобто важливо сказати, що диференціал не тільки нескінченно малий, а наскільки саме він малий.

Історія і використання

Нескінченно малі величини грали значну роль в розвитку математичного аналізу. Архімед використовував їх, хоча він і не вірив, що твердження з нескінченно малими величинами можуть бути точні. Бхаскара II розробив концепцію диференціального відображення нескінченно малих змін. Шараф аль-Дін аль-Тусі використовував їх для обчислення похідної кубічного рівняння. Ісаак Ньютон називав їх похідними. Проте Лейбніц був перший хто застосував термін диференціал до нескінченно малих величин, а також придумав позначення похідної, яке використовується дотепер.

В позначенні Лейбніца, якщо x — змінне число тоді dx позначає нескінченно малий приріст змінної x. Таким чином, якщо y функція від x, тоді похідна y по змінній x часто позначається $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$, що також може бути записано (позначення Ньютона чи Лагранжа) $\dot{y}(x)$ чи $y^{\prime }(x)$. Використання диференціалів в такій формі спровокувало багато критики, наприклад знаменитий памфлет The Analyst єпископа Берклі. В будь-якому разі таке позначення залишилось популярним, тому що воно наочно відображає принцип, що похідна функції y(x) дорівнює нахилу функції в точці, що можна отримати, якщо обчислити границю відношення $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$ приросту y в залежності від приросту x, якщо приріст x прямує до нуля. Диференціали також застосовують в аналізі розмірності, де диференціал наприклад dx маю таку саму розмірність як і змінна x.

Сума Рімана є певного виду наближенням інтегралу за допомогою скінченної суми. Вона названа на честь німецького математика із дев'ятнадцятого століття Бернгарда Рімана. Його одним із самих загальних застосувань є апроксимація площі, що обмежують графіки функцій або криві, а також довжини кривих і інші наближення.

Диференціал використовують в позначенні інтеграла, тому що інтеграл можна вважати нескінченною сумою нескінченно малих величин: площа під графіком функції обчислюється як сума площ нескінченно тонких стрічок. У виразі

$\int f(x)\mathrm{d}x,$

знак інтеграла (витягнуте s) означає нескінченну суму, f(x) позначає 'висоту' тонкої стрічки, а диференціал dx позначає нескінченно тонку ширину.

Формальні означення

Об'єм куба - функція від довжини його сторони, $V=x^3.$ За рахунок лінійного термічного розширення сторони куба збільшуються, а тому збільшується і його об'єм. Якщо довжина сторони куба мала значення $x$ і збільшилася на $h,$ то вона прийме значення $x+h$ і об'єм куба стане рівним $(x+h{)}^3.$ Величина, на яку збільшиться його об'єм, буде складати $(x+h{)}^3-x^3.$ Цю різницю називають прирощенням об'єму куба, а число $h$, яке показує, на скільки збільшилася довжина сторони куба, називається прирощенням його довжини. У математиці прирощення якої-небудь величини позначається $\mathrm{\Delta }x,$ де $\mathrm{\Delta }$ - велика грецька літера "дельта", яка нагадує про латинське слово differentia - "різниця".

Якщо функція $y=f(x)$ зростає на відрізку $[a;b],$ то на цьому відрізку знаки $\mathrm{\Delta }y$ та $\mathrm{\Delta }x$ співпадають - при збільшенні $x$ збільшується й $y,$ а при зменшенні $x$ зменшується й $y$ (графік ліворуч на малюнку). Якщо ж функція $y=f(x)$ спадає на цьому відрізку, то у будь-якій його точці знаки $\mathrm{\Delta }x$ та $\mathrm{\Delta }y$ протилежні.

Якщо $y=f(x)$ - деяка функція й $x$ прирощується, $\mathrm{\Delta }x,$ то змінюється й значення функції, в результаті чого вона отримує деяке прирощення $\mathrm{\Delta }y.$ Щоб обчислити це прирощення, необхідно:

• знайти значення функції при початковому значенні аргумента, тобто $y=f(x)$;
• знайти нове значення аргумента, тобто $x+\mathrm{\Delta }x$;
• знайти нове значення функції, тобто $f(x+\mathrm{\Delta }x)$;
• з нового значення функції відняти початкове її значення,тобто $\mathrm{\Delta }y=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x).$

Наприклад, прирощення функції $y=x^3$ має вигляд $\mathrm{\Delta }y=3x^2\mathrm{\Delta }x+3x\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{x}^3;$ це прирощення можна записати наступним чином: $\mathrm{\Delta }y=3x^2\mathrm{\Delta }x+(3x\mathrm{\Delta }x+\mathrm{\Delta }{x}^2)\mathrm{\Delta }x.$ Воно складається з двох доданків $3x^2\mathrm{\Delta }x$ та $[3x\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2]\mathrm{\Delta }x.$ Перший доданок пропорційний прирощенню аргументу $\mathrm{\Delta }x.$ Другий доданок складніший, залежить від $\mathrm{\Delta }x.$ Але за малих $\mathrm{\Delta }x$ він набагато менший, ніж $3x^2\mathrm{\Delta }x,$ тому що є добутком $\mathrm{\Delta }x$ на вираз $3x\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2,$ який прямує до нуля за $\mathrm{\Delta }x\to 0.$

$x=1$

$\mathrm{\Delta }x$	$\mathrm{\Delta }y$	$3x^2\mathrm{\Delta }x$	$[3x\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2]\mathrm{\Delta }x$
0,1	0,331	0,3	0,031
0,01	0,030301	0,03	0,000301
0,001	0,003003001	0,003	0,000003001

Таким чином, доданок $3x^2\mathrm{\Delta }x$, який є пропорційним $\mathrm{\Delta }x$, за малих значень $\mathrm{\Delta }x$ є головною частиною прирощення функції. Такий доданок називається диференціалом й позначається $dy=3x^2\mathrm{\Delta }x.$ Він залежить не лише від $\mathrm{\Delta }x$, але й від $x.$ Наприклад, для функції $y=x^3$ при $x=1$ та $\mathrm{\Delta }x=0,1$ він дорівнює $dy=1,2.$ У випадку $\mathrm{\Delta }x=0,01$ та $x=1$ диференціал $dy=0,03.$

Диференціал функції $S=x^2.$

Прирощення функції $y=x^2$ має вигляд $\mathrm{\Delta }y=(x+\mathrm{\Delta }x{)}^2-x^2=2x\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2.$ Доданком, пропорційним $\mathrm{\Delta }x,$ є $2x\mathrm{\Delta }x.$ Цей доданок і є диференціалом заданої функції: $dy=2x\mathrm{\Delta }x=2xdx.$ Формула для диференціалу $y=x^2$ має простий геометричний сенс. Оскільки $S=x^2$ - площина квадрата, сторона якого має довжину $x,$ то $\mathrm{\Delta }S$ - площина фігури, на яку її площа збільшується. Зрозуміло, що за малих $\mathrm{\Delta }x$ головну частину цієї площини складає площина двох прямокутників, яка дорівнює $2x\mathrm{\Delta }x,$ тобто диференціалу функції $S=x^2.$ Вираз $(\mathrm{\Delta }x{)}^2$ - площина квадратика, яка нескінченно мала у порівнянні із $\mathrm{\Delta }x.$

Випадок однієї змінної

Нехай в околі точки $x_0$ задана функція $f(x):X\to Y$.

нехай існує таке $A$, що $f(x)-f(x_0)=A(x-x_0)+o(x-x_0)$ при $x\to x_0$.

Позначимо $x-x_0=dx$.

Тоді функція $df=Adx$ називається диференціалом функції $f(x)$ в точці $x_0$.

Випадок багатьох змінних

Приклад 1. Нехай в околі точки $\overrightarrow{x_0}=\{x_0^1,x_0^2,...,x_0^n\}$ задана функція багатьох змінних $f(\overrightarrow{x}):X\to Y$.

Нехай існує такий вектор $\overrightarrow{A}=\{A^1,A^2,...,A^n\}$, що $f(\overrightarrow{x})-f(\overrightarrow{x_0})=\overrightarrow{A}(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x_0})+o(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x_0})$ при $\overrightarrow{x}\to \overrightarrow{x_0}$, де добуток векторів є скалярним добутком.

Позначимо $\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x_0}=\overrightarrow{dx}=\{{dx}^1,{dx}^2,...,{dx}^n\}$.

Тоді функція $df=\overrightarrow{A}\overrightarrow{dx}$ називатиметься диференціалом функції $f(\overrightarrow{x})$ в точці $\overrightarrow{x_0}$.

Приклад 2. Тепер нехай $\mathrm{\Delta }f=f(x_1+\mathrm{\Delta }{x}_1,x_2+\mathrm{\Delta }{x}_2,...,x_n+\mathrm{\Delta }{x}_n)-f(x_1,x_2,...,x_n),$ приріст функції $f(x_1,x_2,...,x_n).$ Неперервність частинних похідних $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ є умовою, достатньою для існування диференціалу. У цьому випадку

$\mathrm{\Delta }f=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\mathrm{\Delta }{x}_i+R_1,$

де $R$ нескінченно мале у порівнянні із $\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}_1^2+\mathrm{\Delta }{x}_2^2+...+\mathrm{\Delta }{x}_n^2}.$ Вираз $df=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\mathrm{\Delta }{x}_i$ є диференціалом функції багатьох змінних.

Відображення між евклідовими просторами

Диференціал відображення - головна, лінійна відносно приросту аргументу, частина відображеня, яка задається деякою матрицею. Також поняття диференціала можна ввести для відображення між евклідовими просторами ƒ Rⁿ → R^m. Нехай x,Δx ∈ Rⁿ — два вектори в просторі Rⁿ. Зміна значення функції ƒ при зміні аргументу на Δx рівна:

$\mathrm{\Delta }f=f(𝐱+\mathrm{\Delta }𝐱)-f(𝐱).$

Якщо існує m × n матриця A для якої

$\mathrm{\Delta }f=A\mathrm{\Delta }𝐱+\Vert \mathrm{\Delta }𝐱\Vert \mathit{\epsilon }$

де вектор ε → 0 при Δx → 0, тоді ƒ називається диференційовною в точці x. Матриця A називається матрицею Якобі, а лінійне перетворення, що ставить у відповідності вектору Δx ∈ Rⁿ вектор AΔx ∈ R^m називається диференціалом dƒ(x) відображення ƒ в точці x.

Відображення між многовидами

Диференціал в точці $x\in M$ гладкого відображення із гладкого многовиду в многовид $F:M\to N$ визначається як лінійне відображення між дотичними просторами в точках $x\in M$ і $F(x)\in N,$ тобто $dF:T_{x}M\to T_{F(x)}N,$ таке що для довільної гладкої в точці F(x) функції $g:N\to ℝ$ виконується рівність:

$dF(X)g=X(g\circ F),\mathrm{\forall }X\in T_{x}M.$

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Завало.Елементи аналізу. Алгебра многочленів.
• Шаблон:Клепко ВМ
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення