Дзета-функція Рімана

Дзе́та-фу́нкція Рі́мана $\zeta (s)$ визначена за допомогою ряду:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$.

У області $\{s:\mathrm{Re}(s)>1\}$, цей ряд збіжний, є аналітичною функцією і допускає аналітичне продовження на всю комплексну площину без одиниці. У цій області також правильне представлення у вигляді нескінченного добутку (тотожність Ейлера)

$\zeta (s)=\prod _p\frac{1}{1-p^{-s}}$ ,

де добуток береться по усіх простих числах p. Ця рівність є однією з основних властивостей дзета-функції.

Властивості

• Існують явні формули для значень дзета-функції у парних цілих точках:

$2\zeta (2m)=(-1{)}^{m+1}\frac{(2\pi {)}^{2m}}{(2m)!}{B}_{2m}$,

де $B_{2m}$ — число Бернуллі. Зокрема,

$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$,

$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$.

Про значення дзета-функції у непарних цілих точках відомо мало: передбачається, що вони є ірраціональними і навіть трансцендентними, але поки доведена лише ірраціональність числа $\zeta (3)$ (Роже Апері, 1978). Є також результати, що показують, що серед деякої безлічі значень дзета-функції у наступних непарних точках є хоча б одне ірраціональне.

• При $\mathrm{Re}(s)>1$

• $\frac{1}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}$

де $\mu (n)$ — функція Мебіуса

• ${\zeta }^2(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\tau (n)}{n^s}$

де $\tau (n)$ — число дільників числа $n$

• $\frac{{\zeta }^2(s)}{\zeta (2s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{\nu (n)}}{n^s}$

де $\nu (n)$ — число простих дільників числа $n$

• $\zeta (s)$ допускає аналітичне продовження на всю комплексну $s$-площину і є регулярною функцією для всіх значень $s$, крім $s=1$, де вона має простий полюс із лишком, рівним 1.
  • Аналітичне продовжена дзета-функція при $s\ne 0,s\ne 1$ задовольняє рівняння:

$\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \frac{\pi s}{2}\mathrm{\Gamma }(1-s)\zeta (1-s)$,

де $\mathrm{\Gamma }(z)$ — Гамма-функція Ейлера. Це рівняння називається функціональним рівнянням Рімана.

• Для функції

$\xi (s)={\pi }^{-s/2}\mathrm{\Gamma }(\frac{s}{2})\zeta (s)$

введеною Ріманом для дослідження $\zeta (s)$ і званою ксі-функцією Рімана, це рівняння набуває вигляду

$\xi (s)=\xi (1-s)$

Нулі дзета-функції

Основна стаття: Гіпотеза Рімана

Як випливає із функціонального рівняння Рімана, у напівплощині

$\mathrm{Re}(s)<0$,

функція $\zeta (s)$ має лише прості нулі у від'ємних парних точках: $0=\zeta (-2)=\zeta (-4)=\zeta (-6)=\dots$. Ці нулі називаються «тривіальними» нулями дзета-функції. Далі $\zeta (s)=0$ при дійсних $s\in (0,1)$. Таким чином, усі «нетривіальні» нулі дзета-функції є комплексними числами, і мають властивість симетрії щодо дійсної осі і щодо вертикалі $\mathrm{Re}(s)=1/2$ і лежать у смузі $0\le \mathrm{Re}(s)\le 1$, яка називається критичною смугою. Гіпотеза Рімана полягає у тому, що усі «нетривіальні» нулі дзета-функції розташовані на прямій $1/2+it$.

Узагальнення

Існує досить велика кількість спеціальних функцій, пов'язаних з дзета-функцією Рімана, які об'єднуються загальною назвою дзета-функції і є її узагальненнями. Наприклад:

• Дзета-функція Гурвіца:

  $\zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+q{)}^{-s},$

яка збігається з дзета-функцією Рімана при q = 1 (оскільки сумування ведеться від 0, а не від 1).

• Полілогарифм:

  ${\mathrm{L}\mathrm{i}}_s(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^s},$

який збігається з дзета-функцією Рімана при z = 1.

• Шаблон:Нп:

  $\mathrm{\Phi }(z,s,q)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{(k+q{)}^s},$

яка збігається з дзета-функцією Рімана при z = 1 і q = 1 (оскільки сумування ведеться від 0, а не від 1).

Історія

Як функція дійсної змінної, дзета-функція була введена у 1737 році Ейлером, який і вказав її розклад у добуток.

Потім ця функція розглядалася Діріхле і, особливо успішно, Чебишо́вим при вивченні закону розподілу простих чисел.

Проте найбільш глибокі властивості дзета-функції були виявлені пізніше, після роботи Рімана (1876), де дзета-функція розглянута як функція комплексної змінної.

Формула добутку Ейлера

Зв'язок між дзета-функцією і простими числами відкрив Ейлер, який довів таку тотожність:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\prod _{p\text{ prime}}\frac{1}{1-p^{-s}},$

де лівий бік - це Шаблон:Math, а нескінченний добуток праворуч містить усі прості числа:

$\prod _{p\text{ prime}}\frac{1}{1-p^{-s}}=\frac{1}{1-2^{-s}}\cdot \frac{1}{1-3^{-s}}\cdot \frac{1}{1-5^{-s}}\cdot \frac{1}{1-7^{-s}}\cdot \frac{1}{1-11^{-s}}\cdots \frac{1}{1-p^{-s}}\cdots$

Обидва боки формули Ейлера збігаються якщо Шаблон:Math. Доведення тотожності Ейлера використовує лише геометричні ряди і основну теорему арифметики. З того, що гармонічний ряд при Шаблон:Math розбіжний, випливає, що формула Ейлера (яка набуває виду $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\dots =\frac{2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot \dots }{1\cdot 2\cdot 4\cdot 6\cdot 10\cdot \dots }$) тягне за собою існування нескінченної кількості простих чисел.

Формулу добутку Ейлера можна використати, щоб обчислити асимптотичну ймовірність того, що Шаблон:Mvar випадково вибраних цілих чисел помножинно взаємно прості. Інтуїтивно, ймовірність того, що будь-яке окремо взяте число ділиться на просте (або будь-яке ціле число), Шаблон:Mvar становить Шаблон:Math. Отже, ймовірність, що кожне з Шаблон:Mvar чисел ділиться на це число становить Шаблон:Math, а ймовірність, що хоча б одне ні становить Шаблон:Math. Тепер, для різних простих чисел, ці події подільності взаємно незалежні, бо кандидати на дільники взаємно прості (число ділиться на взаємно прості дільники Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar тоді і тільки тоді, коли число ділиться на Шаблон:Mvar, подія, що відбувається з ймовірністю Шаблон:Math). Отже, асимптотична ймовірність того, що Шаблон:Mvar чисел взаємно прості задається через добуток що включає всі прості,

$\prod _{p\text{ prime}}(1-\frac{1}{p^s})={\left(\prod _{p\text{ prime}}\frac{1}{1-p^{-s}}\right)}^{-1}=\frac{1}{\zeta (s)}.$

(Щоб довести цей результат формально потрібно більше роботи).

Див. також

• Дзета-функції
• Дзета-функція Гурвіца
• Формула сумування Абеля
• Список об'єктів, названих на честь Бернгарда Рімана

Посилання

• Дзета-функція Рімана Шаблон:Webarchive (from MathWorld)
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр