Проєктивний конус

Проєктивний конус (або просто конус) у проєктивній геометрії — об'єднання всіх прямих, які перетинають проєктивний підпростір $R$ (вершину конуса) і довільну підмножину $A$ (основу) деякого іншого підпростору $S$, що не перетинає $R$.

У випадку, коли $R$ — одна точка, $S$ — площина, $A$ — конічний перетин на $S$, проєктивний конус є конічною поверхнею; звідси й назва.

Визначення

Нехай X — проєктивний простір над деяким полем $K$, а $R$, $S$ — неперетинні підпростори X. Нехай $A$ — довільна підмножина $S$. Конус $RA$ з вершиною $R$ і основою $A$ визначимо так:

• Якщо $A$ порожня, $RA=A$.
• Якщо $A$ не порожня, $RA$ складається з усіх точок прямих, що з'єднують точку в $R$ і точку в $A$.

Властивості

• Оскільки $R$ і $S$ не перетинаються, з лінійної алгебри та визначення проєктивного простору можна зробити висновок, що кожна точка на $RA$, яка не є в $R$ або $A$, міститься на рівно одній прямій, що з'єднує точку в $R$ і точку в $A$.
• (RA) $\cap$ S = A
• Якщо K — скінченне поле порядку q, то $|RA|$ = $q^{r+1}$$|A|$ + $\frac{q^{r+1}-1}{q-1}$, де $r=dim(R)$.

Див. також

• Конус
• Конус (алгебрична геометрія)
• Конус (топологія)
• Опуклий конус
• Конічні перетини
• Лінійчата поверхня
• Гіперболоїд