Monstrous moonshine

Monstrous moonshine, також відома як гіпотеза жахливої дурниці — несподіваний зв'язок простої скінченної групи-монстра $M$ із модулярними функціями (зокрема, з $j$-інваріантом). Висунуто як гіпотезу в 1970-х роках та доведено в 1992 році.

Назва

Monstrous moonshine також називають англійською moonshine theory, а до моменту доведення називали monstrous moonshine hypothesis.

Історія

Перший прояв зв'язку виявив наприкінці 1970-х років Шаблон:Не перекладено, який зауважив, що коефіцієнти ряду Фур'є нормалізованого $j$-інваріанту:

$j(\tau )=\frac{1}{q}+744+196884q+21493760q^2+864299970q^3+\cdots$

($\tau$ — Шаблон:Не перекладено, $q=e^{2\pi i\tau }$) є специфічними лінійними комбінаціями розмірностей $r_i$ Шаблон:Нп групи $M$:

$\begin{array}{cc}1& =r_1\\ 196884& =r_1+r_2\\ 21493760& =r_1+r_2+r_3\\ 864299970& =2r_1+2r_2+r_3+r_4\\ 20245856256& =3r_1+3r_2+r_3+2r_4+r_5\\ & =2r_1+3r_2+2r_3+r_4+r_6\\ 333202640600& =5r_1+5r_2+2r_3+3r_4+2r_5+r_7\\ & =4r_1+5r_2+3r_3+2r_4+r_5+r_6+r_7\\ \dots \end{array}$ .

Джон Томпсон для пояснення феномену запропонував вивчити степеневі ряди з коефіцієнтами, що є характерами представлень монстра, обчисленими для його елементів. 1979 року Джон Конвей (який, дізнавшись про співвідношення Маккея, запропонував термін monstrous moonshine) і Шаблон:Не перекладено побудували такі функції (ряди Маккея — Томпсона), і виявили їх схожість із Шаблон:Не перекладено, сформулювавши зміст гіпотези: кожен ряд Маккея — Томпсона відповідає певній головній модулярній функції.

1992 року гіпотезу довів учень Конвея Річард Борхердс, який згодом здобув Філдсівську премію, зокрема й за цей результат. Доведення істотно спирається на властивості деякої алгебри вершинних операторів (Шаблон:Не перекладено), для якої група-монстр є групою симетрій, і цим виявлено зв'язок твердження з теорією струн і конформною теорією поля (які ґрунтуються на алгебрах вершинних операторів).