Міра Малера

Міра Малера $M(p)$ для многочлена $p(z)$ з комплексними коефіцієнтами визначається як

$M(p)=|a|\prod _{|{\alpha }_i|\ge 1}|{\alpha }_i|=|a|\prod _{i=1}^n\max \{1,|{\alpha }_i|\},$

де $p(z)$ розкладається в полі комплексних чисел $ℂ$ на множники

$p(z)=a(z-{\alpha }_1)(z-{\alpha }_2)\cdots (z-{\alpha }_n).$

Міру Малера можна розглядати як вид функції висоти. Використовуючи формулу Єнсена, можна показати, що ця міра еквівалентна середньому геометричному чисел $|p(z)|$ для $z$ на одиничному колі (тобто, $|z|=1$):

$M(p)=\exp (\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\ln (|p(e^{i\theta })|)d\theta ).$

У ширшому значенні міра Малера для алгебричного числа $\alpha$ визначається як міра Малера мінімального многочлена від $\alpha$ над $\mathbb{Q}$. Зокрема, якщо $\alpha$ є числом Пізо або числом Салема, то міра Малера дорівнює просто $\alpha$.

Названо на честь математика Курта Малера.

Властивості

• Міра Малера є мультиплікативною: $\mathrm{\forall }p,q,M(p\cdot q)=M(p)\cdot M(q),$ де $\mathrm{\forall }$ — квантор загальності .
• $M(p)=\underset{\tau \to 0}{\lim }\Vert p{\Vert }_{\tau }$, де середнє степеневе $\Vert p{\Vert }_{\tau }={(\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|p(e^{i\theta }){|}^{\tau }d\theta )}^{1/\tau }$ є нормою $L_{\tau }$ для многочлена $p$.
• (Шаблон:Не перекладено) Якщо $p$ -незвідний нормований (старший коефіцієнт — 1) цілочисельний многочлен із $M(p)=1$, то або $p(z)=z$, або $p$ є коловим многочленом.
• (Шаблон:Не перекладено) Якщо існує стала $\mu >1$, така, що, якщо $p$ є незвідним цілочисельним многочленом, то або $M(p)=1$, або $M(p)>\mu$.
• Міра Малера нормованого цілого многочлена є числом Перрона.

Міра Малера від кількох змінних

Міра Малера $M(p)$ для многочлена з кількома змінними $p(x_1,\dots ,x_n)\in ℂ[x_1,\dots ,x_n]$ визначається за аналогічною формулоюШаблон:Sfn:

$M(p)=\exp (\frac{1}{(2\pi {)}^n}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\cdots \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\log (|p(e^{i{\theta }_1},e^{i{\theta }_2},\dots ,e^{i{\theta }_n})|)d{\theta }_{1}d{\theta }_2\cdots d{\theta }_n).$

Ця міра зберігає всі три властивості міри Малера для многочлена від однієї змінної.

Показано, що в деяких випадках міра Малера від кількох змінних пов'язана зі спеціальними значеннями дзета-функцій і $L$-функцій. Наприклад, 1981 року Сміт довів формулиШаблон:Sfn

$m(1+x+y)=\frac{3\sqrt{3}}{4\pi }L({\chi }_{-3},2),$

де $L({\chi }_{-3},s)$ — L-функція Діріхле, і

$m(1+x+y+z)=\frac{7}{2{\pi }^2}\zeta (3)$ ,

де $\zeta$ — дзета-функція Рімана. Тут $m(P)=\log M(P)$ називають логарифмічною мірою Малера.

Теорема Лоутона

За визначенням міра Малера сприймається як інтеграл многочлена за тором (див. Шаблон:Не перекладено). Якщо $p$ перетворюється на нуль на торі $(S^1{)}^n$, то збіжність інтеграла, який визначає $M(p)$, не очевидна, але відомо, що $M(p)$ збігається і дорівнює межі міри Малера від однієї змінноїШаблон:Sfn, що висловив у вигляді гіпотези Шаблон:Не перекладено Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Нехай $\mathbb{Z}$ позначає цілі числа, визначимо ${\mathbb{Z}}_{+}^N=\{r=(r_1,\dots ,r_N)\in {\mathbb{Z}}^N:r_j\ge 0\text{для}1\le j\le N\}$ . Якщо $Q(z_1,\dots ,z_N)$ є многочленом від $N$ змінних та $r=(r_1,\dots ,r_N)\in {\mathbb{Z}}_{+}^N$, то нехай многочлен $Q_r(z)$ від однієї змінної визначається як

$Q_r(z):=Q(z^{r_1},\dots ,z^{r_N}),$

а $q(r)$ — як

$q(r):=\text{min}\{H(s):s=(s_1,\dots ,s_N)\in {\mathbb{Z}}^N,s\ne (0,\dots ,0)\text{and}\sum _{j=1}^N{s}_j{r}_j=0\}$ ,

де $H(s)=\text{max}\{|s_j|:1\le j\le N\}$.

Теорема (Лоутона): нехай $Q(z_1,\dots ,z_N)$ є многочленом від N змінних із комплексними коефіцієнтами — тоді істинна така границя (навіть якщо порушити умову $r_i\ge 0$):

$\underset{q(r)\to \mathrm{\infty }}{\lim }M(Q_r)=M(Q)$

Пропозиція Бойда

Бойд запропонував твердження, загальніше, ніж наведена вище теорема. Він вказав на те, що класична теорема Кронекера, яка характеризує нормовані многочлени з цілими коефіцієнтами, корені яких лежать усередині одиничного кола, може розглядатися як опис многочленів однієї змінної, міра Малера для яких точно дорівнює 1, і на те, що цей результат можна поширити на многочлени кількох зміннихШаблон:Sfn.

Нехай розширений круговий многочлен визначатиметься як многочлен вигляду

$\mathrm{\Psi }(z)=z_1^{b_1}\dots z_n^{b_n}{\mathrm{\Phi }}_m(z_1^{v_1}\dots z_n^{v_n}),$

де ${\mathrm{\Phi }}_m(z)$ — коловий многочлен степеня m, $v_i$ — цілі числа, а $b_i=\max (0,-v_i\mathrm{deg}{\mathrm{\Phi }}_m)$ вбрано найменшим, так що $\mathrm{\Psi }(z)$ є многочленом від $z_i$. Нехай $K_n$ — множина многочленів, які є добутком одночленів $\pm z_1^{c_1}\dots z_n^{c_n}$ та розширеного колового многочлена. Тоді виходить така теорема.

Теорема (Бойда): нехай $F(z_1,\dots ,z_n)\in \mathbb{Z}[z_1,\dots ,z_n]$ — многочлен із цілими коефіцієнтами, тоді $M(F)=1,$ тільки коли $F$ є елементом $K_n$.

Це наштовхнуло Бойда на думку розглянути такі множини:

$L_n:=\{m(P(z_1,\dots ,z_n)):P\in \mathbb{Z}[z_1,\dots ,z_n]\},$

та об'єднання $L_{\mathrm{\infty }}=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{L}_n$. Він висунув більш «просунуту» гіпотезуШаблон:Sfn, що множина $L_{\mathrm{\infty }}$ є замкнутою підмножиною $ℝ$. З істинності цієї гіпотези негайно випливає істинність гіпотези Лемера, хоч і без явної нижньої межі. Оскільки з результату Сміта випливає, що $L_1⫋L_2$, Бойд пізніше висловив гіпотезу, що

$L_1⫋L_2⫋L_3⫋\cdots .$

Див. також

• Шаблон:Не перекладено
• Висота многочлена

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:SpringerEOM.
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld