Ряд Шлемільха

Ряд Шлемільха — це розклад в ряд, подібний до розкладу в ряд Фур'є, двічі неперервно диференційованої функції на інтервалі $(0,\pi )$ по функціях Бесселя першого роду нульового індексу, який названо на честь німецького математика Шаблон:Нп, який вивів його у 1857 році. А саме, дійсна функція $f(x)$ допускає розвинення в ряд вигляду

$f(x)=a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{J}_0(nx),$

у якому

$\begin{array}{cc}{a}_0& =f(0)+\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}u{f}^{\prime }(u\sin \theta )d\theta du,\\ a_n& =\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}u\cos nu{f}^{\prime }(u\sin \theta )d\theta du.\end{array}$

Приклади

Нульова функція на інтервалі $(0,\pi )$ може бути представлена рядом Шлемільха,

$0=\frac{1}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{J}_0(nx)$.

Такий результат неможливо отримати за допомогою ряду Фур'є. Це цікаво з тої точки зору, що нульова функція представлена розвиненням у ряд, у якому не всі коефіцієнти дорівнюють нулю (у випадку довільного ряду Фур'є — всі коефіцієнти розкладу будуть нулями). Ряд збігається тільки тоді, коли $0<x<\pi$.

Це розвинення було узагальнене Нільсом Нільсеном

$0=\frac{1}{2\mathrm{\Gamma }(\nu +1)}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{J}_0(nx)/(nx/2{)}^{\nu },$

де $-1/2<\nu \le 1/2$ і $0<x<\pi$ або $\nu >1/2$ і $0<x\le \pi$.

Ще деякі приклади рядів Шлемільха:

• $x=\frac{{\pi }^2}{4}-2\sum _{n=1,3,...}^{\mathrm{\infty }}\frac{J_0(nx)}{n^2},0<x<\pi .$
• $x^2=\frac{2{\pi }^2}{3}+8\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n^2}{J}_0(nx),-\pi <x<\pi .$
• $\frac{1}{x}+\sum _{m=1}^k\frac{2}{\sqrt{x^2-4m^2{\pi }^2}}=\frac{1}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{J}_0(nx),2k\pi <x<2(k+1)\pi .$
• Якщо $(r,z)$ — циліндричні полярні координати, то ряд $1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-nz}{J}_0(nr)$ задовольняє рівняння Лапласа при $z>0$ .