Подовжений трисхилий купол

Подовжений трисхилий купол
Тип	Багатогранник Джонсона J18.
Властивості	Опуклий, рівносторонній, правильногранний
Комбінаторика
Елементи	14 граней ((3+1){3} + 3x3{4} + 1{6}) 27 ребер 15 вершин: 6 вершин (3-го степеня) + [6+3](4-го)
Грані	4=3+1 Правильних трикутників, 9=3x3 Квадратів, 1 Правильний шестикутник.
Характеристика Ейлера	$\chi =\mathrm{\Gamma }-\text{P}+\text{B}=2$
Конфігурація вершини	Шаблон:Math
Вершинна фігура	3 прямокутника з довжинами сторін 1 та $\sqrt{2}$ 6 рівнобедрених трикутників з довжинами сторін $\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ 6 рівнобедрених трапецій з довжинами сторін $1$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$
Класифікація
Позначення	• J18 (в нотації Шаблон:Не перекладено) • M4+ П6 (в нотації ЗалгаллераШаблон:Sfn) • Q3P6 Шаблон:Sfn Шаблон:Rp (в Шаблон:Не перекладено)
Група симетрії	Шаблон:Не перекладено, [3], (*33), порядок 6 (Циклічна симетрія 3-Піраміди)
Група поворотів	C3, [3]+, (33), порядок 3
Двоїстий багатогранник
Розгортка

Рівносторонній подовжений трисхилий купол є одним із багатогранників Джонсона (Шаблон:Math або Шаблон:Math (за ЗалгаллеромШаблон:Sfn).

Багатогранник Джонсона — один із 92 строго опуклих багатогранників, що мають правильні грані, але не є однорідним (тобто він не є правильним багатогранником, архімедовим тілом, призмою або антипризмою). Правильногранні багатогранники названі ім'ям Шаблон:Не перекладено, який першим перелічив їх в 1966 р. Шаблон:Sfn

Подовжений трисхилий купол утворюється поєднанням трисхилого купола та правильної рівносторонньої шестикутної призми по їх шестикутним граням.

Подовжений трисхилий купол складено з 14 граней: 3+1 = 4 правильних трикутників, 3х3 = 9 квадратів та 1 правильного шестикутника.

Чотири трикутних граней оточені трьома квадратами; три квадратні грані оточені трьома трикутними та однією квадратною гранями; три квадратні грані оточені трьома квадратними та однією шестикутною гранями; три квадратні грані оточені однією трикутною, двома квадратними та однією шестикутною гранями; шестикутна грань оточена шістьма квадратними гранями.

Має 27 ребер однакової довжини: 3+6= 9 ребер розташовані між двома квадратними гранями, 3+3+6=12 ребер — між трикутною та квадратною гранями, решта 6 — між квадратною та шестикутною гранями.

У подовженого трисхилого купола 15 вершин: 3 вершини оточені двома трикутними та двома квадратними гранями (почергово); 6 вершин оточені трикутною та трьома квадратними гранями; 6 вершин оточені двома квадратними та шестикутною гранями.

Подовжений трисхилий купол

Подовжений трисхилий купол має вісь поворотної симетрії 3-го порядку, що проходить через центри трикутної та шестикутної паралельних граней; а також три площини дзеркальної симетрії, що проходять через вісь купола та середини сторін нижньої (шестикутної) основи.

Центру симетрії не має.

Подовжений трисхилий купол не належить до елементарних багатогранників Джонсона Шаблон:SfnШаблон:Rp, так як його можна розділити площиною на два менших опуклих багатогранника з правильними гранями, а саме на трисхилий купол (Шаблон:Math) та рівносторонню шестикутну призму.

Формули

Діагоналі

Кількість діагоналей опуклого багатогранника: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{B}{2})-P$ , де В — кількість вершин, Р — кількість ребер багатогранника.

Для подовженого трисхилого купола:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{2})-27=\frac{15}{2}\cdot \frac{14}{1}-27=78$ діагоналей (27 граневих та 51 просторових).Шаблон:-

Діагоналі подовженого трисхилого купола з довжиною ребра $a$
	Граневі діагоналі	$AB=\sqrt{2}\cdot a\approx 1.41421356237\cdot a$ $HE=\sqrt{3}\cdot a\approx 1.73205080756\cdot a$ $HF=2\cdot a$
	Просторові діагоналі	$AC=KB=\sqrt{3}\cdot a\approx 1.73205080756\cdot a$ $KC=KE=2\cdot a$ $KF=\sqrt{5}\cdot a\approx 2.2360679775\cdot a$ $AD=\sqrt{\frac{2(3+\sqrt{6})}{3}}\cdot a\approx 1.90604122774\cdot a$ $AE=\sqrt{\frac{9+2\sqrt{6}}{3}}\cdot a\approx 2.152438886903\cdot a$ $AF=\sqrt{\frac{2(6+\sqrt{6})}{3}}\cdot a\approx 2.373392753392\cdot a$

Метричні характеристики

Для подовженого трисхилого купола з довжиною ребра $a$:
Вписаної, напіввписаної та описаної сфер подовжений трисхилий купол не має
Висота H (Відстань між паралельними трикутною та шестикутною гранями)	$H=(1+\frac{\sqrt{6}}{3})\cdot a$	$\approx 1.81649658\cdot a$
Площа поверхні	$S=(9+\frac{5\sqrt{3}}{2})\cdot a^2$	$\approx 13.33012701\cdot a^2$
Об'єм	$V=\frac{5\sqrt{2}+9\sqrt{3}}{6}\cdot a^3$	$\approx 3.77658751333\cdot a^3$
Сферичність	$\mathrm{\Psi }=\frac{2\sqrt[3]{(293+90\sqrt{6})\pi }}{18+5\sqrt{3}}$	$\mathrm{\Psi }\approx 0.8797978$

Кути

Плоскі кути граней при вершинах: 60°, 90°, 120°.

Кути багатогранника
Кут між несусідніми ребрами при вершині верхньої основи	$\phi =\arccos (-\frac{1}{2})$	$=\frac{2\pi }{3}$ рад = 120°
Двогранний кут між гранями {3} та {4} (грані трисхилого купола)	$\alpha =\arccos (-\frac{\sqrt{3}}{3})=\mathrm{arcsec}(-\sqrt{3})$	≈ 2.1862760354 рад ≈ 125°15′ 51.8028′′
Двогранний кут між гранями {3} та {4} (грані між трисхилим куполом та призмою)	$\beta =\arccos (-\frac{2\sqrt{2}}{3})$	≈ 2.8017557441 рад ≈ 160°31′ 43.6057′′
Двогранний кут між гранями {4} та {4} (грані між трисхилим куполом та призмою)	$\gamma =\arccos (-\frac{\sqrt{6}}{3})$	≈ 2.5261129449 рад ≈ 144°44′ 8.1971′′
Двогранний кут між гранями {4} та {4} (грані шестикутної призми)	$\delta =\arccos (-\frac{1}{2})$	= $\frac{2\pi }{3}$ рад = 120°
Двогранний кут між гранями {4} та {6}		= $\frac{\pi }{2}$ рад = 90°
Тілесний кут при вершині нижньої основи (шестикутної)		$\mathrm{\Omega }=\frac{2\pi }{3}$ ср
Тілесний кут при вершині 4.4.4.3 (стик купола та призми)	${\mathrm{\Omega }}_1=\frac{2\pi }{3}+\frac{1}{2}\arccos (-\frac{7}{9})=$ $=\frac{2\pi }{3}+4\arctan (\sqrt{3}-\sqrt{2})$	${\mathrm{\Omega }}_1$ ≈ 3.3253545197 ср
Тілесний кут при вершині верхньої основи (трикутної)	${\mathrm{\Omega }}_2=\arccos (-\frac{7}{9})=4\arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=$ $=8\arctan (\sqrt{3}-\sqrt{2})$	${\mathrm{\Omega }}_2$ ≈ 2.461918834 ср

Центр мас подовженого трисхилого купола лежить на його осі симетрії на відстані $\frac{421+65\sqrt{6}}{772}\cdot a\approx 0.7515762\cdot a$ від нижньої (шестикутної) основи .

Координати вершин

Координати вершин подовженого трисхилого купола з довжиною ребра a = 1:

• $(\frac{\sqrt{3}}{3},0,\frac{\sqrt{6}}{3})$, $(-\frac{\sqrt{3}}{6},\pm \frac{1}{2},\frac{\sqrt{6}}{3})$ — ці координати визначають три вершини верхньої трикутної грані.
• $(0,\pm 1,0)$, $(\frac{\sqrt{3}}{2},\pm \frac{1}{2},0)$, $(-\frac{\sqrt{3}}{2},\pm \frac{1}{2},0)$ — ці координати визначають шість вершин, що лежать між верхньою (трикутною) та нижньою (шестикутною) паралельними гранями.
• $(0,\pm 1,-1)$, $(\frac{\sqrt{3}}{2},\pm \frac{1}{2},-1)$, $(-\frac{\sqrt{3}}{2},\pm \frac{1}{2},-1)$ — ці координати визначають шість вершин нижньої (шестикутної) грані.

При цьому вісь симетрії подовженого трисхилого купола співпадає з віссю координат Oz, а площина координат xOz співпадає з однією з площин симетрії багатогранника.

Двоїстий багатогранник

Подовжений трисхилий купол не має канонічно-двоїстого багатогранника (середньовписані сфери обох багатогранників співпадають).

Його топологічно-двоїстий може бути побудований лише загальним чином (кожній грані початкового багатогранника відповідає вершина двоїстого, кожній вершині початкового — грань двоїстого, з дотриманням симетрії початкового багатогранника), а тому форми та розміри двоїстого багатогранника до початкового подовженого трисхилого купола можуть різнитися.

Двоїстий багатогранник до подовженого трисхилого купола (3-D модель, dJ18),

має 15 граней: 3 дельтоїда, 6 трикутників, 6 чотирикутників; 27 ребер, 14 вершин.

Двоїстий багатогранник	Розгортка двоїстого	Поєднання подовженого трисхилого купола та його двоїстого багатогранника

Замощення простору

Замостити тривимірний простір без проміжків та накладень можна за допомогою подовжених трисхилих куполів, квадратних пірамід (J₁) та правильних тетраедрів.

Література

• Шаблон:Стаття (Містить оригінальне перерахування 92 тіл і гіпотезу, що інших немає.)
• Шаблон:Книга (Перший доказ, що існує тільки 92 тіл Джонсона.)

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Polytope Wiki
• McCooey, David.Elongated Triangular Cupola
• Klitzing, Richard. "etcu"
• Quickfur. «The Elongated Triangular Cupola»