Слеш-нотація Фейнмана

У вивченні поля Дірака у квантовій теорії поля Річард Фейнман винайшов зручну нотацію з косою рисою Фейнмана (менш відому як нотацію з косою рисою Дірака). Якщо A - коваріантний вектор (тобто 1-форма),

$A/\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\gamma }^1{A}_1+{\gamma }^2{A}_2+{\gamma }^3{A}_3+{\gamma }^4{A}_4$

де γ - гамма-матриці. Використовуючи нотацію Ейнштейна для сумування, вираз просто записується як

$A/\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\gamma }^{\mu }{A}_{\mu }$.

Тотожності

Застосовуючи антикомутатори гамма-матриць, можна вказати, що для будь-яких $a_{\mu }$ і $b_{\mu }$,

$\begin{array}{c}a/a/=a^{\mu }{a}_{\mu }\cdot I_4=a^2\cdot I_4\\ a/b/+b/a/=2a\cdot b\cdot I_4.\end{array}$

де $I_4$ це матриця тотожності в чотирьох вимірах.

Зокрема,

${\partial /}^2={\partial }^2\cdot I_4.$

Додаткові тотожності можна вивчити безпосередньо з тотожностей гамма-матриць, замінивши метричний тензор на внутрішні добутки. Наприклад,

$\begin{array}{cc}{\gamma }_{\mu }a/{\gamma }^{\mu }& =-2a/\\ {\gamma }_{\mu }a/b/{\gamma }^{\mu }& =4a\cdot b\cdot I_4\\ {\gamma }_{\mu }a/b/c/{\gamma }^{\mu }& =-2c/b/a/\\ {\gamma }_{\mu }a/b/c/d/{\gamma }^{\mu }& =2(d/a/b/c/+c/b/a/d/)\\ \mathrm{tr}(a/b/)& =4a\cdot b\\ \mathrm{tr}(a/b/c/d/)& =4[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)]\\ \mathrm{tr}(a/{\gamma }^{\mu }b/{\gamma }^{\nu })& =4[a^{\mu }{b}^{\nu }+a^{\nu }{b}^{\mu }-{\eta }^{\mu \nu }(a\cdot b)]\\ \mathrm{tr}({\gamma }_{5}a/b/c/d/)& =4i{\epsilon }_{\mu \nu \lambda \sigma }{a}^{\mu }{b}^{\nu }{c}^{\lambda }{d}^{\sigma }\\ \mathrm{tr}({\gamma }^{\mu }a/{\gamma }^{\nu })& =0\\ \mathrm{tr}({\gamma }^{5}a/b/)& =0\\ \mathrm{tr}({\gamma }^0(a/+m){\gamma }^0(b/+m))& =8a^0{b}^0-4(a.b)+4m^2\\ \mathrm{tr}((a/+m){\gamma }^{\mu }(b/+m){\gamma }^{\nu })& =4[a^{\mu }{b}^{\nu }+a^{\nu }{b}^{\mu }-{\eta }^{\mu \nu }((a\cdot b)-m^2)]\\ \mathrm{tr}({a/}_1...{a/}_{2n})& =\mathrm{tr}({a/}_{2n}...{a/}_1)\\ \mathrm{tr}({a/}_1...{a/}_{2n+1})& =0\end{array}$

де:

• ${\epsilon }_{\mu \nu \lambda \sigma }$ є символом Леві-Чівіта
• ${\eta }^{\mu \nu }$ є метрикою Мінковського
• $m$ є скаляром.

З чотирипроменевим імпульсом

Цей розділ використовує підпис метрики (+ − − −). Часто, коли використовують рівняння Дірака і знаходять поперечні перерізи, зустрічається нотація з косою рисою, що використовується для чотири-імпульсу: використовуючи базис Дірака для гамма-матриць,

${\gamma }^0=\left(\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& -I\end{array}\right),{\gamma }^i=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }^i\\ -{\sigma }^i& 0\end{array}\right)$

а також визначення контраваріантного чотириімпульсу в натуральних одиницях,

$p^{\mu }=(E,p_x,p_y,p_z)$

ми це чітко бачимо

$\begin{array}{cc}p/& ={\gamma }^{\mu }{p}_{\mu }={\gamma }^0{p}^0-{\gamma }^i{p}^i\\ & =\left[\begin{array}{cc}{p}^0& 0\\ 0& -p^0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}0& {\sigma }^i{p}^i\\ -{\sigma }^i{p}^i& 0\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}E& -\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{p}\\ \overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{p}& -E\end{array}\right].\end{array}$

Аналогічні результати мають місце в інших базисах, таких як базис Вейля.

Див. також

• Основа Вейля
• Гамма-матриці
• Чотиривекторний
• S-матриця

Джерела

• Шаблон:Cite book