Многовид Фреше

У математиці, зокрема в нелінійному аналізі, многовид Фреше — це топологічний простір, змодельований на основі простору Фреше, приблизно таким же чином, як многовид моделюється на основі евклідового простору .

А саме, многовид Фреше є гаусдорфовим простором $X$ з атласом координатних карт над просторами Фреше, переходи яких є гладкими відображеннями. Таким чином $X$ задається відкритим покриттям ${\left\{U_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in I},$ і набором гомеоморфізмів ${\varphi }_{\alpha }:U_{\alpha }\to F_{\alpha }$ на їхні образи, де $F_{\alpha }$ є простори Фреше, такі, що відображення переходу між картами

${\varphi }_{\alpha \beta }:={\varphi }_{\alpha }\circ {\varphi }_{\beta }^{-1}{|}_{{\varphi }_{\beta }(U_{\beta }\cap U_{\alpha })}$

є гладкими для всіх пар індексів $\alpha$, $\beta .$

Класифікація з точністю до гомеоморфізму

У загальному випадку не вірно, що скінченновимірний многовид розмірності $n$ є глобально гомеоморфним ${ℝ}^n$, чи навіть відкритій підмножині ${ℝ}^n.$ Однак у нескінченномірному світі можна класифікувати деякі многовиди Фреше з точністю до гомеоморфізму. Теорема Девіда Хендерсона 1969 року стверджує, що кожен нескінченновимірний сепарабельний метричний многовид Фреше $X$ може бути вкладений як відкрита підмножина нескінченномірного сепарабельного гільбертового простору $H$ (існує лише один такий простір з точністю до лінійного ізоморфізму).

Гомеоморфізм вкладення можна використовувати як глобальну карту для $X.$ Таким чином, для нескінченновимірного сепарабельного метричного випадку з точністю до гомеоморфізму «єдиними» топологічними многовидами Фреше є відкриті підмножини нескінченновимірного сепарабельного гільбертового простору. У випадку диференційовних або гладких многовидів Фреше (з точністю до відповідного поняття дифеоморфізму) така класифікація відсутня.

Див. також

• Банахів простір
• Гільбертів простір
• Похідна Гато
• Похідна Фреше

Література

• Шаблон:Cite journal Шаблон:MathSciNet
• Шаблон:Cite journal Шаблон:MathSciNet