Еквівалентність категорій

Еквівалентність категорій у теорії категорій — відношення між категоріями, яке показує, що дві категорії «по суті однакові». Встановлення еквівалентності свідчить про глибокий зв'язок відповідних математичних концепцій та дозволяє «переносити» теореми з одних структур на інші.

Визначення

Для двох категорійШаблон:Math і Шаблон:Math задана їх еквівалентність, якщо задано функтор Шаблон:Math, функтор Шаблон:Math, і два природних ізоморфізми Шаблон:Math та Шаблон:Math. Тут Шаблон:Math та Шаблон:Math — тотожні функтори Шаблон:Math і Шаблон:Math відповідно. Якщо Шаблон:Math та Шаблон:Math — контраваріантні функтори, це визначає двоїстість категорій.

Еквівалентні формулювання

Можна показати, що функтор Шаблон:Math визначає еквівалентність категорій тоді й лише тоді, коли він:

• цілком унівалентний і
• щільний, тобто в класі ізоморфізму будь-якого елемента Шаблон:Math категорії Шаблон:Math існує об'єкт, що має прообраз у Шаблон:Math під дією Шаблон:Math.

Це найчастіше застосовуваний критерій, оскільки він не вимагає явно сконструювати «обернений» функтор і два природних перетворення. З іншого боку, хоча наведена вище властивість гарантує існування еквівалентності, частина даних втрачається, оскільки іноді еквівалентність можна провести різними способами. Тому функтор Шаблон:Math із такими властивостями іноді називають слабкою еквівалентністю категорій.

Ще одне формулювання використовує поняття спряжених функторів: Шаблон:Math та Шаблон:Math задають еквівалентність категорій тоді й лише тоді, коли вони обидва цілком унівалентні і є спряженими.

Приклади

• Між категорією $C$ з одного об'єкта $c$ та одного морфізму $1_c$ та категорією $D$ із двох об'єктів $d_1$, $d_2$ і чотирьох морфізмів: двох тотожних $1_{d_1}$ і $1_{d_2}$, та двох ізоморфізмів $\alpha :d_1\to d_2$ і $\beta :d_2\to d_1$, можна встановити еквівалентність, наприклад взяти $F$, що відображає $c$ в $d_1$, і $G$, що відображає обидва об'єкти $D$ в $c$. Однак, наприклад, категорія $C$ не еквівалентна категорії з двох об'єктів та двох тотожних морфізмів.
• Нехай категорія $C$ складається з одного об'єкта $c$ і двох морфізмів $1_c,f:c\to c$, де $f\circ f=1$. Тоді $f$ задає природний ізоморфізм ${𝐈}_C$ із собою (нетривіальний, тому що він діє на морфізмах не тотожно).
• Еквівалентна категорія $C$ скінченновимірних дійсних векторних просторів та категорія $D=\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(ℝ)$ (об'єкти — натуральні числа, морфізми — матриці відповідної розмірності): функтор $F:C\to D$ зіставляє векторному простору його розмірність (що відповідає вибору в кожному просторі базису).
• Одна з центральних тем алгебричної геометрії — двоїстість категорій афінних схем і комутативних кілець. Відповідний функтор відображає кільце в його спектр — схему, утворену простими ідеалами.

Властивості

За еквівалентності категорій зберігаються всі «категорійні» властивості: наприклад, властивість бути початковим об'єктом, мономорфізмом, границею або властивість категорії бути топосом.

• об'єкт c з C є початковим об'єктом (або термінальним об'єктом, або нульовим об'єктом), тоді й лише тоді, коли Fc є початковим об'єктом (або термінальним об'єктом, або нульовим об'єктом) у D;
• морфізм α в C є мономорфізмом (або епіморфізмом, або ізоморфізмом), тоді й лише тоді, коли Fα є мономорфізмом (або епіморфізмом, або ізоморфізмом) в D;
• функтор H : I → C має границю (або кограницю) l тоді й лише тоді, коли функтор FH : I → D має границю (або кограницю) Fl . Це, зокрема, можна застосувати до Шаблон:Нп, добутків і кодобутків серед іншого. Застосовуючи до ядер і коядер, бачимо, що еквівалентність F є точним функтором.
• C є декартовою замкнутою категорією (або топосом) тоді й лише тоді, коли D є декартово замкнутою (або топосом).

Двоїстість «перевертає всі поняття»: вони перетворюють початкові об'єкти на термінальні об'єкти, мономорфізми на епіморфізми, ядра на коядра, границі на кограниці тощо.

Якщо F : C → D — еквівалентність категорій, а G₁ і G₂ — дві інверсії F, то G₁ і G₂ природно ізоморфні.

Якщо F : C → D — еквівалентність категорій, і якщо C — Шаблон:Нп (або Шаблон:Нп, або абелева категорія), то D можна перетворити на преадитивну категорію (або адитивну категорію, або абелеву категорію) так, що F стає Шаблон:Нп. З іншого боку, будь-яка еквівалентність між адитивними категоріями обов'язково є адитивною. (Зверніть увагу, що останнє твердження хибне для еквівалентності між преадитивними категоріями.)

Автоеквівалентність категорії C є еквівалентністю F : C → C. Автоеквівалентності C утворюють групу за композицією, якщо ми вважаємо дві автоеквівалентності, які природно ізоморфні, ідентичними. Ця група фіксує основні «симетрії» C. (Застереження: якщо C не є малою категорією, то автоеквівалентності C можуть утворювати належний клас, а не множину.)

Література

• Шаблон:Із
• Маклейн С. Глава 4. Сопряжённые функторы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — Шаблон:М.: Физматлит, 2004. — С. 95—128. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.