Шестисоткомірник

Шестисоткомірник
Діаграма Шлегеля: проєкція (перспектива) шестисоткомірника в тривимірний простір
Тип	правильний чотиривимірний політоп
Символ Шлефлі	{3,3,5}
Комірок	600
Граней	1200
Ребер	720
Вершин	120
Вершинна фігура	ікосаедр
Двоїстий політоп	стодвадцятикомірник

Проєкція обертового шестисоткомірника в тривимірний простір

Розгортка

Пра́вильний шестисоткомі́рник, або просто шестисоткомі́рник, або гекзакосіхор (від Шаблон:Lang-grc — «шістсот» і Шаблон:Lang-grc2 — «місце, простір») — один із шести правильних багатокомірників у чотиривимірному просторі. Двоїстий стодвадцятикомірнику.

Відкрив Людвіг Шлефлі в середині 1850-х років. Символ Шлефлі шестисоткомірника — {3,3,5}.

Опис

Обмежений 600 тривимірними комірками — однаковими правильними тетраедрами. Кут між двома суміжними комірками дорівнює $\arccos (-\frac{1+3\sqrt{5}}{8})\approx 164,48^{\circ }.$

1200 двовимірних граней — однакові правильні трикутники. Кожна грань розділяє 2 комірки, що прилягають до неї.

Має 720 ребер рівної довжини. На кожному ребрі сходяться по 5 граней та по 5 комірок.

Має 120 вершин. У кожній вершині сходяться по 12 ребер, по 30 граней і 20 комірок.

У координатах

Шестисотячейник можна розмістити в декартовій системі координат так, щоб:

• 8 його вершин мали координати $(\pm 2;0;0;0),$$(0;\pm 2;0;0),$$(0;0;\pm 2;0),$$(0;0;0;\pm 2)$ (ці вершини розташовані так само, як вершини шістнадцятикомірника);

• ще 16 вершин — координати $(\pm 1;\pm 1;\pm 1;\pm 1)$ (розташовані так само, як вершини тесеракта ; крім того, разом з 8 попередніми вони дають вершини двадцятичотирьохкомірника);

• координати інших 96 вершин були різними парними перестановками чисел $(\pm \mathrm{\Phi };\pm 1;\pm {\mathrm{\Phi }}^{-1};0),$ де $\mathrm{\Phi }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ — відношення золотого перетину (ці вершини розташовані так само, як вершини кирпатого двадцятичотирьохкомірника).

Початок координат $(0;0;0;0)$ буде центром симетрії багатокомірника, а також центром його вписаної, описаної та напіввписаних тривимірних гіперсфер.

Ортогональні проєкції на площину

Метричні характеристики

Якщо шестисоткомірник має ребро довжини $a,$ то його чотиривимірний гіпероб'єм і тривимірна гіперплоща поверхні виражаються відповідно як

$V_4=\frac{25}{4}(2+\sqrt{5})a^4\approx 26,4754249a^4,$

$S_3=50\sqrt{2}{a}^3\approx 70,7106781a^3.$

Радіус описаної тривимірної гіперсфери (що проходить через усі вершини багатокомірника) при цьому дорівнює

$R=\mathrm{\Phi }a=\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})a\approx 1,6180340a,$

радіус зовнішньої напіввписаної гіперсфери (що дотикається до всіх ребер у їхніх серединах) -

${\rho }_1=\frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}a\approx 1,5388418a,$

радіус внутрішньої напіввписаної гіперсфери (що дотикається до всіх граней у їхніх центрах)

${\rho }_2=\frac{1}{6}(\sqrt{15}+3\sqrt{3})a\approx 1,5115226a,$

радіус вписаної гіперсфери (що дотикається до всіх комірок у їхніх центрах) -

$r=\frac{1}{4}(\sqrt{10}+2\sqrt{2})a\approx 1,4976762a.$

Посилання

• Шаблон:MathWorld