Число Пелля

Шаблон:UniboxЧисло Пелля — ціле число, що є знаменником у нескінченній послідовності ланцюгових дробів для квадратного кореня з двох. Ця послідовність наближень починається дробами: $1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,\dots$, тобто перші числа Пелля — 1, 2, 5, 12 і 29. Чисельники тієї самої послідовності наближень є половинами супутних чисел Пелля або числами Пелля — Люка — нескінченої послідовності, що починається з 2, 6, 14, 34 і 82.

Обидві послідовності — числа Пелля і супутні числа Пелля — можуть бути обчислені за допомогою рекурентної формули, схожої на формули для чисел Фібоначчі, і обидві послідовності чисел зростають експоненціально, пропорційно степеню срібного перетину $1+\sqrt{2}$. Крім використання в ланцюговому дробу наближень до квадратного кореня з двох, числа Пелля можна застосувати для пошуку квадратних трикутних чисел і для вирішення деяких комбінаторних задач перерахування.

Послідовність чисел Пелля відома з давніх часів, хоча Леонард Ейлер помилково приписав їх відкриття Джону Пеллю (як і рівняння Пелля). Числа Пелля — Люка названі на честь Едуарда Люка, який вивчав ці послідовності. І числа Пелля, і супутні числа Пелля є окремими випадками послідовностей Люка.

Числа Пелля

Числа Пелля задаються лінійним рекурентним співвідношенням:

$P_n=\{\begin{array}{c}0,n=0;\\ 1,n=1\\ 2P_{n-1}+P_{n-2},n>1\end{array}$

і є окремим випадком послідовності Люка.

Перші кілька чисел Пелля

Шаблон:Age num, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, … (Шаблон:OEIS).

Числа Пелля можна виразити формулою

$P_n=\frac{(1+\sqrt{2}{)}^n-(1-\sqrt{2}{)}^n}{2\sqrt{2}}.$

Для великих значень n член $(1+\sqrt{2}{)}^n$ домінує в цьому виразі, так що числа Пелля приблизно пропорційні ступені срібного перетину $(1+\sqrt{2})$, також як швидкість росту чисел Фібоначчі дорівнює ступені золотого перетину.

Можливо і третє визначення — у вигляді матричної формули

$\left(\begin{array}{cc}{P}_{n+1}& P_n\\ P_n& P_{n-1}\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right)}^n.$

Багато тотожностей можуть бути доведені з цих визначень, наприклад тотожність, аналогічне Шаблон:Не перекладено для чисел Фібоначчі,

$P_{n+1}{P}_{n-1}-P_n^2=(-1{)}^n,$

як негайний наслідок матричної формули (підставляючи визначники матриць ліворуч і праворуч).

Наближення до квадратного кореня з двох

Раціональне наближення до правильних восьмикутників, із координатами з чисел Пелля

Числа Пелля виникли історично з раціональних наближень до квадратного кореня з двох. Якщо два великих цілих x і y дають рішення рівняння Пелля

$x^2-2y^2=\pm 1,$

то їх відношення $\frac{x}{y}$ дає близьке наближення до $\sqrt{2}$. Послідовність наближень цього виду

$1,\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\dots$

де знаменник кожного дробу — число Пелля, а чисельник дорівнює сумі числа Пелля і його попередника в послідовності. Таким чином, наближення мають вигляд $\frac{P_{n-1}+P_n}{P_n}$.

Наближення

$\sqrt{2}\approx \frac{577}{408}$

цього типу було відомо математикам Індії в третьому-четвертому столітті до нашої ери. Грецькі математики п'ятого століття до нашої ери також знали про це наближення. Платон посилається на чисельники як раціональні діаметри. У другому столітті нашої ери Шаблон:Не перекладено використовував терміни сторона і діаметр для опису знаменника і чисельника цієї послідовності.

Ці наближення можуть бути отримані з ланцюгового дробу $\sqrt{2}$:

$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ddots }}}}}.$

Скінчена частина ланцюгового дробу дає апроксимацію у вигляді чисел Пелля. Наприклад,

$\frac{577}{408}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}}}}}.$

Як писав Кнут (1994), факт апроксимації числами Пелля $\sqrt{2}$ дозволяє використовувати їх для раціонального наближення до правильного восьмикутника з координатами вершин $(\pm P_i,\pm P_{i+1})$ и $(\pm P_{i+1},\pm P_i)$. Усі вершини цього восьмикутника однаково віддалені від центру і формують майже однакові кути. Водночас точки $(\pm (P_i+P_{i-1}),0)$, $(0,\pm (P_i+P_{i-1}))$ и $(\pm P_i,\pm P_i)$ формують восьмикутник, у якого вершини майже однаково віддалені від центру та мають однакові кути.

Прості й квадрати

Простим числом Пелля називається число Пелля, що є також простим. Кілька перших простих чисел Пелля

2, 5, 29, 5741, … (Шаблон:OEIS)

Як і у випадку з числами Фібоначчі, число Пелля $P_n$ може бути простим тільки якщо n просте.

Є всього три числа Пелля, які є квадратами, кубами та іншими вищими ступенями, — це 0, 1, і 169 = 13².

Попри те, що серед чисел Пелля настільки мало квадратів та інших степенів, вони мають близький зв'язок із квадратними трикутними числами. Ці числа виникають із наступної тотожності:

$((P_{k-1}+P_k)\cdot P_k{)}^2=\frac{(P_{k-1}+P_k{)}^2\cdot ((P_{k-1}+P_k{)}^2-(-1{)}^k)}{2}.$

Ліва частина цієї тотожності дає квадратне число, у той час як права частина дає трикутне число, так що в результаті отримаємо квадратне трикутне число.

Сантана (Santana) і Діац-Барреро (Diaz-Barrero) (2006) довели іншу тотожність, що пов'язує числа Пелля з квадратами. Вони показали, що сума чисел Пелля до $P_{4n+1}$ завжди є квадратом:

$\sum _{i=0}^{4n+1}{P}_i={\left(\sum _{r=0}^n{2}^r(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+1}{2r})\right)}^2=(P_{2n}+P_{2n+1}{)}^2.$

Наприклад, сума чисел Пелля до $P_5$, $0+1+2+5+12+29=49$, є квадратом числа $P_2+P_3=2+5=7$.

Числа $P_{2n}+P_{2n+1}$, які утворюють квадратні корені таких сум,

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, … (Шаблон:OEIS), відомі як Шаблон:Не перекладено.

Піфагорові трійки

Прямокутні трикутники з майже рівними катетами і цілочисельними координатами, породжені числами Пелля.

Якщо прямокутний трикутник має сторони a, b, c (по теоремі Піфагора a²+b²=c²), то (a,b,c) відомі як піфагорові трійки. Мартін (Martin) (1875) писав, що числа Пелля можна застосувати для формування піфагорових трійок, в яких a і b відрізняються на одиницю, що відповідає майже рівнобедреному прямокутному трикутнику. Кожна така трійка має вигляд

$(2P_n{P}_{n+1},P_{n+1}^2-P_n^2,P_{n+1}^2+P_n^2=P_{2n+1}).$

Послідовність піфагорових трійок, отримана таким способом: (4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ….

Числа Пелля — Люка

Супутні числа Пелля або числа Пелля — Люка визначаються лінійним рекурентним співвідношенням:

$Q_n=\{\begin{array}{c}2,n=0\\ 2,n=1\\ 2Q_{n-1}+Q_{n-2},n>1\end{array}$

Тобто, перші два числа в послідовності рівні 2, а всі інші формуються як сума подвоєного попереднього числа Пелля—Люка та попереднього до нього, або, що еквівалентно, як сума наступного та попереднього чисел Пелля. Так, супутнім для 82 є число 29, і 82 = 2 · 34 + 14 = 70 + 12.

Супутні числа Пелля утворюють послідовність:

2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, … (Шаблон:OEIS)

Супутні числа Пелля можна подати формулою:

$Q_n=(1+\sqrt{2}{)}^n+(1-\sqrt{2}{)}^n.$

Усі ці числа парні, кожне з них є подвоєним чисельником у наближенні раціональними числами до $\sqrt{2}$.

Обчислення та зв'язки

Наступна таблиця дає декілька перших степенів срібного перетину $\delta ={\delta }_S=1+\sqrt{2}$ і пов'язаного з ним $\overline{\delta }=1-\sqrt{2}$.

$n$	$(1+\sqrt{2}{)}^n$	$(1-\sqrt{2}{)}^n$
0	$1+0\sqrt{2}=1.0$	$1-0\sqrt{2}=1.0$
1	$1+1\sqrt{2}=2.41421\dots$	$1-1\sqrt{2}=-0.41421\dots$
2	$3+2\sqrt{2}=5.82842\dots$	$3-2\sqrt{2}=0.17157\dots$
3	$7+5\sqrt{2}=14.07106\dots$	$7-5\sqrt{2}=-0.07106\dots$
4	$17+12\sqrt{2}=33.97056\dots$	$17-12\sqrt{2}=0.02943\dots$
5	$41+29\sqrt{2}=82.01219\dots$	$41-29\sqrt{2}=-0.01219\dots$
6	$99+70\sqrt{2}=197.9949\dots$	$99-70\sqrt{2}=0.0050\dots$
7	$239+169\sqrt{2}=478.00209\dots$	$239-169\sqrt{2}=-0.00209\dots$
8	$577+408\sqrt{2}=1153.99913\dots$	$577-408\sqrt{2}=0.00086\dots$
9	$1393+985\sqrt{2}=2786.00035\dots$	$1393-985\sqrt{2}=-0.00035\dots$
10	$3363+2378\sqrt{2}=6725.99985\dots$	$3363-2378\sqrt{2}=0.00014\dots$
11	$8119+5741\sqrt{2}=16238.00006\dots$	$8119-5741\sqrt{2}=-0.00006\dots$
12	$19601+13860\sqrt{2}=39201.99997\dots$	$19601-13860\sqrt{2}=0.00002\dots$

Коефіцієнти являють собою половини супутніх чисел Пелля $H_n$ і числа Пелля $P_n$, є невід'ємними розв'язками рівняння $H^2-2P^2=\pm 1$.

Квадратне трикутне число — це число $N=\frac{t(t+1)}{2}=s^2$, яке є як $t$ трикутним числом так і $s$ квадратним. Майже рівнобедрені піфагорові трійки є цілими розв'язками $a^2+b^2=c^2$, де $a+1=b$.

Наступна таблиця показує розкладання непарних $H_n$ на дві майже однакові половинки, що дає квадратне трикутне число, коли n парне, і майже рівнобедрену піфагорову трійку, коли n непарне.

$n$	$H_n$	$P_n$	t	t+1	s	a	b	c
0	1	0	0	0	0
1	1	1				0	1	1
2	3	2	1	2	1
3	7	5				3	4	5
4	17	12	8	9	6
5	41	29				20	21	29
6	99	70	49	50	35
7	239	169				119	120	169
8	577	408	288	289	204
9	1393	985				696	697	985
10	3363	2378	1681	1682	1189
11	8119	5741				4059	4060	5741
12	19601	13860	9800	9801	6930

Визначення

Половини супутніх чисел Пелля $H_n$ і числа Пелля $P_n$ можна отримати декількома еквівалентними шляхами:

Піднесення до степеня:

$(1+\sqrt{2}{)}^n=H_n+P_n\sqrt{2}$

$(1-\sqrt{2}{)}^n=H_n-P_n\sqrt{2}.$

Звідки випливає:

$H_n=\frac{(1+\sqrt{2}{)}^n+(1-\sqrt{2}{)}^n}{2}.$

і

$P_n\sqrt{2}=\frac{(1+\sqrt{2}{)}^n-(1-\sqrt{2}{)}^n}{2}.$

Парні рекурентні відношення:

$H_n=\{\begin{array}{c}1,n=0\\ H_{n-1}+2P_{n-1},n>0\end{array}$

$P_n=\{\begin{array}{c}0,n=0;\\ H_{n-1}+P_{n-1},n>0\end{array}$

або, в матричному вигляді:

$\left(\begin{array}{c}{H}_n\\ P_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{H}_{n-1}\\ P_{n-1}\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right)}^n\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right).$

Таким чином

$\left(\begin{array}{cc}{H}_n& 2P_n\\ P_n& H_n\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right)}^n.$

Наближення

Різниця $H_n$ і $P_n\sqrt{2}$ дорівнює $(1-\sqrt{2}{)}^n\approx (-0.41421{)}^n$, що швидко наближається до нуля.

Таким чином $(1+\sqrt{2}{)}^n=H_n+P_n\sqrt{2}$ дуже близьке до $2H_n$.

Із цього спостереження випливає, що відношення цілих $\frac{H_n}{P_n}$ швидко наближається до $\sqrt{2}$ у той час як $\frac{H_n}{H_{n-1}}$ и $\frac{P_n}{P_{n-1}}$ швидко наближається до $1+\sqrt{2}$.

H² − 2P² = ±1

Оскільки $\sqrt{2}$ є ірраціональним, неможливо отримати $\frac{H}{P}=2$, тобто $\frac{H^2}{P^2}=\frac{2P^2}{P^2}$. Найкраще, що ми можемо отримати, це або $\frac{H^2}{P^2}=\frac{2P^2-1}{P^2}$ або $\frac{H^2}{P^2}=\frac{2P^2+1}{P^2}$.

Невід'ємними рішеннями $H^2-2P^2=1$ є пари $H_n,P_n$ з парним n, і рішеннями $H^2-2P^2=-1$ є пари $H_n,P_n$ з n непарним.

Щоб зрозуміти це, зауважимо

$H_{n+1}^2-2P_{n+1}^2=(H_n+2P_n{)}^2-2(H_n+P_n{)}^2=-(H_n^2-2P_n^2)$

так що, починаючи з $H_0^2-2P_0^2=1$ знак чергується ($1,-1$). Зауважимо тепер, що кожне позитивне рішення можна отримати з рішення з меншим індексом завдяки рівності $(2P-H{)}^2-2(H-P{)}^2=-(H^2-2P^2)$.

Квадратні трикутні числа

Необхідну рівність $\frac{t(t+1)}{2}=s^2$ еквівалентно $4t^2+4t+1=8s^2+1$, що перетворюється в $H^2=2P^2+1$ при підстановці $H=2t+1$ і $P=2s$. Звідси n-м рішенням буде $t_n=\frac{H_{2n}-1}{2}$ і $s_n=\frac{P_{2n}}{2}.$

Зауважимо, що $t$ і $t+1$ взаємно прості, так що $\frac{t(t+1)}{2}=s^2$ можливо тільки тоді, коли вони є сусідніми цілими, одне — квадрат $H^2$ й інше — подвоєний квадрат $2P^2$.

Оскільки ми знаємо всі рішення рівняння, ми отримуємо

$t_n=\{\begin{array}{cc}2P_n^2& n\equiv 0(\mathrm{mod}2)\\ H_n^2& n\equiv 1(\mathrm{mod}2)\end{array}$

і $s_n=H_n{P}_n$

$n$	$H_n$	$P_n$		t	t+1	s		a	b	c
0	1	0
1	1	1		1	2	1		1	0	1
2	3	2		8	9	6		3	4	5
3	7	5		49	50	35		21	20	29
4	17	12		288	289	204		119	120	169
5	41	29		1681	1682	1189		697	696	985
6	99	70		9800	9801	6930		4059	4060	5741

Триплети Піфагора

Рівність $c^2=a^2+(a+1{)}^2=2a^2+2a+1$ вірно тільки при $2c^2=4a^2+4a+2$, що перетворюється в $2P^2=H^2+1$ при підстановці $H=2a+1\text{ and }P=c$. Тоді n-м рішенням є $a_n=\frac{H_{2n+1}-1}{2}$ і $c_n=P_{2n+1}.$

Таблиця вище показує, що з точністю до порядку $a_n$ і $b_n=a_n+1$ дорівнює $H_n{H}_{n+1}$ і $2P_n{P}_{n+1}$ , в той час як $c_n=H_{n+1}{P}_n+P_{n+1}{H}_n.$

Див. також

• Рівняння Пелля

Посилання

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite conference
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal