Числа Ейлера

Шаблон:Не плутати Числа Ейлера — у математиці — послідовність e n цілих чисел (послідовність A122045 в OEIS), що визначається розкладанням ряду Тейлора, де cosht — гіперболічний косинус.

$\frac{1}{\cosh t}=\frac{2}{e^t+e^{-t}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_n}{n!}\cdot t^n$,

Числа Ейлера пов'язані зі спеціальним значенням многочленів Ейлера, а саме:

$E_n=2^n{E}_n(\frac{1}{2}).$

Числа Ейлера з'являються в розширеннях ряду Тейлора секансом і гіперболічним секансом функцій. Останнє є функцією у визначенні. Вони також зустрічаються в комбінаториці, зокрема при підрахунку кількості перестановок множини з парним числом елементів, які чергуються.

Приклади

Непарні індексовані числа Ейлера дорівнюють нулю. Парні індексовані (послідовність A028296 в OEIS) мають змінні знаки. Деякі значення

E0	=	1
E2	=	−1
E4	=	5
E6	=	−61
E8	=	Шаблон:Val
E10	=	Шаблон:Val
E12	=	Шаблон:Val
E14	=	Шаблон:Val
E16	=	Шаблон:Val
E18	=	Шаблон:Val

Деякі автори повторно індексують послідовність, щоб пропустити непарні числа Ейлера з нульовим значенням, або змінити всі знаки на позитивні. Ця стаття дотримується прийнятої вище угоди.

Явні формули

Як ітераційна сума

Явною формулою для номерів Ейлера є:

$E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{j=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})\frac{(-1{)}^j(k-2j{)}^{2n+1}}{2^k{i}^{k}k}$

де i означає уявну одиницю з Шаблон:Math.

Як сума над розділами

Число Ейлера E2n можна виразити у вигляді суми над парним розбиттям Шаблон:Math,

$E_{2n}=(2n)!\sum _{0\le k_1,\dots ,k_n\le n}\left(\begin{array}{c}K\\ k_1,\dots ,k_n\end{array}\right){\delta }_{n,\sum m{k}_m}{(-\frac{1}{2!})}^{k_1}{(-\frac{1}{4!})}^{k_2}\cdots {(-\frac{1}{(2n)!})}^{k_n},$

а також суму за непарним розбиттям Шаблон:Math,

$E_{2n}=(-1{)}^{n-1}(2n-1)!\sum _{0\le k_1,\dots ,k_n\le 2n-1}\left(\begin{array}{c}K\\ k_1,\dots ,k_n\end{array}\right){\delta }_{2n-1,\sum (2m-1)k_m}{(-\frac{1}{1!})}^{k_1}{\left(\frac{1}{3!}\right)}^{k_2}\cdots {\left(\frac{(-1{)}^n}{(2n-1)!}\right)}^{k_n},$

де в обох випадках Шаблон:Math та

$\left(\begin{array}{c}K\\ k_1,\dots ,k_n\end{array}\right)\equiv \frac{K!}{k_1!\cdots k_n!}$

є багаточленним коефіцієнтом. Дельта Кронекера у вищенаведених формулах обмежує суми над Шаблон:Mvars to Шаблон:Math та до Шаблон:Math, відповідно.

Як приклад,

$\begin{array}{cc}{E}_{10}& =10!(-\frac{1}{10!}+\frac{2}{2!8!}+\frac{2}{4!6!}-\frac{3}{2{!}^{2}6!}-\frac{3}{2!4{!}^2}+\frac{4}{2{!}^{3}4!}-\frac{1}{2{!}^5})\\ & =9!(-\frac{1}{9!}+\frac{3}{1{!}^{2}7!}+\frac{6}{1!3!5!}+\frac{1}{3{!}^3}-\frac{5}{1{!}^{4}5!}-\frac{10}{1{!}^{3}3{!}^2}+\frac{7}{1{!}^{6}3!}-\frac{1}{1{!}^9})\\ & =-50521.\end{array}$

Як визначник

Шаблон:Math також дається визначником

$\begin{array}{cc}{E}_{2n}& =(-1{)}^n(2n)!\left|\begin{array}{ccccc}\frac{1}{2!}& 1& & & \\ \frac{1}{4!}& \frac{1}{2!}& 1& & \\ ⋮& & \ddots & \ddots & \\ \frac{1}{(2n-2)!}& \frac{1}{(2n-4)!}& & \frac{1}{2!}& 1\\ \frac{1}{(2n)!}& \frac{1}{(2n-2)!}& \cdots & \frac{1}{4!}& \frac{1}{2!}\end{array}\right|.\end{array}$

Асимптотичне наближення

Числа Ейлера швидко зростають для великих індексів, оскільки вони мають нижню межу

$|E_{2n}|>8\sqrt{\frac{n}{\pi }}{\left(\frac{4n}{\pi e}\right)}^{2n}.$

Ейлерові зигзагоподібні числа

Ряд Тейлора Шаблон:Math є

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{A_n}{n!}{x}^n,$

де Шаблон:Mvar — Шаблон:Нп, починаючи з

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, … (послідовність A000111 в OEIS)

Для всіх парних Шаблон:Mvar,

$A_n=(-1{)}^{\frac{n}{2}}{E}_n,$

де Шаблон:Mvar — число Ейлера; і для всіх непарних Шаблон:Mvar,

$A_n=(-1{)}^{\frac{n-1}{2}}\frac{2^{n+1}(2^{n+1}-1)B_{n+1}}{n+1},$

де Шаблон:Mvar — число Бернуллі.

Для кожного n,

$\frac{A_{n-1}}{(n-1)!}\sin \left(\frac{n\pi }{2}\right)+\sum _{m=0}^{n-1}\frac{A_m}{m!(n-m-1)!}\sin \left(\frac{m\pi }{2}\right)=\frac{1}{(n-1)!}.$Шаблон:Cn

Див. також

• Стала Ейлера — Маскероні
• Число Белла
• Числа Бернуллі

Зовнішні посилання

• Шаблон:Springer
• Шаблон:MathWorld