Циклічна група

Шаблон:Теорія груп Циклічна група — це група, яка може бути породжена одним із своїх елементів. Тобто всі елементи групи є степенями даного елемента (або, використовуючи термінологію адитивних груп, всі елементи групи рівні $n g$ , де $g \in G, n \in ℤ$ ).

Формально, для мультиплікативних груп:

G = ⟨ a ⟩ = {a^{n} | n \in ℤ} .

для адитивних:

G = ⟨ a ⟩ = {n a | n \in ℤ} .

Приклади

Група $ℤ$ цілих чисел з операцією додавання. Дана група є прикладом нескінченної циклічної групи.
Група $ℤ / n ℤ$ цілих чисел за модулем $n$ з операцією додавання. Дана група є прикладом скінченної циклічної групи.
Група коренів з $n$ -го степеня з $1$ (в множині комплексних чисел) з операцією множення.

Властивості

Всі циклічні групи є абелевими.

Це випливає з асоціативності групи.

Кожна скінченна циклічна група ізоморфна групі $ℤ / n ℤ$ , а кожна нескінченна циклічна група ізоморфна групі $ℤ$ .

Справді, для нескінченної групи можна взяти як ізоморфізм відображення, що переводить

a^{k}

в

k

.

Для скінченної групи порядку n використовуємо аналогічне відображення і враховуємо, що

a^{n} = 1

та

n \equiv 0 (\mod n) .

У нескінченної циклічної групи є два твірні елементи: $1$ та $- 1$ ; для скінченної групи порядку $n$ їх кількість рівна функції Ейлера $φ (n),$ тобто кількості чисел менших від $n$ і взаємно простих з $n$ .

Для скінченної циклічної групи елемент $k$ є твірним тоді й лише тоді коли він взаємно простий з $n$ . Тоді існують

a, b \in ℤ

для яких виконується

a k + b n = 1

тобто

a k \equiv 1 (\mod n)

. Відповідно

2 a k \equiv 2 (\mod n)

і так для всіх елементів.

Навпаки якщо

a k \equiv 1 (\mod n)

то $a k - 1$ ділиться на $n$ тобто рівне

n b

для деякого цілого $b$ . Тоді $a k - b n = 1$ ? що можливо лише для взаємно простих чисел.

Якщо порядок групи — просте число, то така група циклічна.

Є наслідком теореми Лагранжа.

Якщо група не має власних підгруп то вона циклічна і її порядок просте число.

Теорема про підгрупи циклічної групи

Ключовим результатом для циклічних груп є наступна теорема:

Кожна підгрупа циклічної групи є циклічною.

Доведення

Нехай $G$ — циклічна група і $H$ — її підгрупа. Вважатимемо, що $G$ і $H$ не є тривіальними (тобто мають більше одного елемента).

Нехай $g$ — твірний елемент групи $G$ , а $n$ — найменше додатне ціле число, таке що $g^{n} \in H$ . Твердження: $H = ⟨ g^{n} ⟩$

$⟨ g^{n} ⟩ \subseteq H$

\forall a \in ⟨ g^{n} ⟩ \exists z \in ℤ ∣ a = (g^{n})^{z}

g^{n} \in H \Rightarrow (g^{n})^{z} \in H \Rightarrow a \in H

Відповідно,

⟨ g^{n} ⟩ \subseteq H

.

$H \subseteq ⟨ g^{n} ⟩$: Нехай $h \in H$ .; $h \in H \Rightarrow h \in G \Rightarrow \exists x \in ℤ ∣ h = g^{x}$ .; Згідно з алгоритмом ділення $\exists q, r \in ℤ ∣ 0 \leq r < n \land x = q n + r$; $h = g^{x} = g^{q n + r} = g^{q n} g^{r} = (g^{n})^{q} g^{r} \Rightarrow g^{r} = h (g^{n})^{- q}$ .; $h, g^{n} \in H \Rightarrow g^{r} \in H$ .; Зважаючи на вибір $n$ і те, що $0 \leq r < n$ , одержуємо $r = 0$ .; $r = 0 \Rightarrow h = (g^{n})^{q} g^{0} = (g^{n})^{q} \in ⟨ g^{n} ⟩$ .; Відповідно, $H \subseteq ⟨ g^{n} ⟩$ .

Див. також

Джерела

Українською

Шаблон:Ref-uk Шаблон:Книга

Іншими мовами

Циклічна група

Зміст

Приклади

Властивості

Теорема про підгрупи циклічної групи

Доведення

Див. також

Джерела

Українською

Іншими мовами

Навігаційне меню

Циклічна група

Приклади

Властивості

Теорема про підгрупи циклічної групи

Доведення

Див. також

Джерела

Українською

Іншими мовами

Навігаційне меню

Пошук