Хвильове рівняння акустики

У фізиці, в хвильове рівняння акустики описує поширення акустичної хвилі через матеріальне середовище, яке є диференціальним рівнянням другого роду з частинними похідними.  Рівняння описує еволюцію акустичного тиску $p$ або швидкості u як функції, яка залежить від координат х і часу $t$. Спрощена форма рівняння описує акустичні хвилі тільки в одному просторовому вимірі, в той час як більш загальна форма описує хвилі в трьох вимірах.

Хвильове рівняння акустики був важливою точкою відліку у розвитку електромагнітного хвильового рівняння у Кельвінському майстер-класі в університеті Джонса Хопкінса.

Одновимірний випадок

Рівняння

Річард Фейнман вивів хвильове рівняння, яке описує поведінку звуку в справу в речовині в одному вимірі  як:

$\frac{{\partial }^{2}p}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}p}{\partial t^2}=0$

де $p$ — акустичний тиск і $c$— швидкість звуку.

Розв'язування

За умови, що швидкість $c$ є константою, яка не залежить від частоти (бездисперсійний випадок), то найбільш загальний розв'язок має вигляд

$p=f(ct-x)+g(ct+x)$

де $f$ і $g$ — будь-які двічі диференційовані функції. Це може бути зображено як суперпозицію двох хвиль довільного профілю, одна ($f$) пересуваються вгору по осі x, а інша ($g$) вниз по осі x зі швидкістю $c$. У частинному випадку синусоїдальної хвилі, яка рухається в одному напрямку, одна з цих функцій є синусоїдою, а інша рівна нулю, що дає нам такий розв'язок:

$p=p_0\sin (\omega t\mp kx)$.

де $\omega$ — кутова частота хвилі, а $k$ — її хвильове число.

Отримання

Хвильове рівняння можуть бути отримано на основі лінеаризованого одновимірного рівняння неперервності, лінеаризованого одновимірного рівняння сил і рівняння стану.

Рівняння стану (рівняння стану ідеального газу)

$PV=nRT$

В адіабатичному процесі, тиск Р як функція від густини $\rho$ може бути лінеаризована до

$P=C\rho$

де C — деяка константа. Розбиваючи тиск і густину на їхні середні і загальні компоненти і вважаючи, що $C=\frac{\partial P}{\partial \rho }$:, отримаємо:

$P-P_0=\left(\frac{\partial P}{\partial \rho }\right)(\rho -{\rho }_0)$.

Адіабатичний об'ємний модуль для рідини визначається як

$B={\rho }_0{\left(\frac{\partial P}{\partial \rho }\right)}_{adiabatic}$

який дає результат

$P-P_0=B\frac{\rho -{\rho }_0}{{\rho }_0}$.

Ущільнення, s, визначається як зміна густини для даної рідини.

$s=\frac{\rho -{\rho }_0}{{\rho }_0}$

Лінеаризоване рівняння стану набуває вигляду

$p=Bs$ де p - це звуковий тиск ($P-P_0$).

Рівняння неперервності (збереження маси) в одному вимірі має вигляд

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x}(\rho u)=0$.

Тут u — це швидкість потоку рідини. Рівняння знову повинно бути лінеаризоване і змінні поділені на їх середнє та змінні складові.

$\frac{\partial }{\partial t}({\rho }_0+{\rho }_{0}s)+\frac{\partial }{\partial x}({\rho }_{0}u+{\rho }_{0}su)=0$

Перегруповуючи і зазначивши, що зміна густини навколишнього середовища не залежить від часу і положення, що ущільнення, помножене на швидкість — дуже мале число, отримаємо:

$\frac{\partial s}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x}u=0$

Рівняння сили Ейлера (збереження імпульсу) є останнім з необхідних компонентів. В одновимірному випадку рівняння має вигляд:

$\rho \frac{Du}{Dt}+\frac{\partial P}{\partial x}=0$,

де $D/Dt$ являє собою конвективною похідною, яка є похідною в точці, яка рухається зі середовищем.

Лінеаризація змінних:

$({\rho }_0+{\rho }_{0}s)(\frac{\partial }{\partial t}+u\frac{\partial }{\partial x})u+\frac{\partial }{\partial x}(P_0+p)=0$.

Перегруповуючи і нехтуючи малими членами, результуюче рівняння стане лінеаризованим одновимірним рівнянням Ейлера:

${\rho }_0\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial p}{\partial x}=0$.

Взявши похідну за часом в рівнянні неперервності і просторову похідну в рівнянні сили, отримаємо:

$\frac{{\partial }^{2}s}{\partial t^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial t}=0$

${\rho }_0\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial t}+\frac{{\partial }^{2}p}{\partial x^2}=0$.

Домноживши перше на ${\rho }_0$, віднявши друге, і підставляючи в лінеаризоване рівняння стану, отримаємо

$-\frac{{\rho }_0}{B}\frac{{\partial }^{2}p}{\partial t^2}+\frac{{\partial }^{2}p}{\partial x^2}=0$.

Остаточний результат

$\frac{{\partial }^{2}p}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}p}{\partial t^2}=0$,

де $c=\sqrt{\frac{B}{{\rho }_0}}$ — швидкість поширення.

Трьохвимірний випадок

Рівняння

Фейнман вивів хвильове рівняння, яке описує поведінку звуку в речовині у трьох вимірах:

${\mathrm{\nabla }}^{2}p-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}p}{\partial t^2}=0$

де ${\mathrm{\nabla }}^2$ — оператор Лапласа, $p$ — акустичний тиск і $c$ — швидкість звуку.

Подібний вигляд хвильового рівняння, але для векторного поля швидкості частинок:

${\mathrm{\nabla }}^2𝐮-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2𝐮}{\partial t^2}=0$..

У деяких ситуаціях, це рівняння є більш зручне для розв'язку хвильового рівняння для абстрактного скалярного поля потенціалу швидкості, яке має вигляд

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial t^2}=0$

з якого виводяться фізичні величини — швидкість частинок і акустичний тиск:

$𝐮=\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }$,

$p=-\rho \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }$.

Розв'язування

Розв'язки знаходяться шляхом розділення змінних в різних системах координат. Вони є розв'язками комплексної амплітуди, тобто вони мають неявну часову залежність від фактора $e^{i\omega t}$, де $\omega =2\pi f$ — кутова частота. Явна залежність від часу має вигляд

$p(r,t,k)=\mathrm{Real}[p(r,k)e^{i\omega t}]$

Тут $k=\omega /c$ — хвильове число.

Декартові координати

$p(r,k)=A{e}^{\pm ikr}$.

Циліндричні координати

$p(r,k)=A{H}_0^{(1)}(kr)+B{H}_0^{(2)}(kr)$.

Сферичні координати

$p(r,k)=\frac{A}{r}{e}^{\pm ikr}$.

Джерела

1. Літинський Святослав Володимирович. Чисельне розв’язування мішаних задач для хвильового рівняння методом перетворення Лаґерра та граничних інтегральних рівнянь. Шаблон:Ізольована стаття