Характеристичний многочлен

Характеристичний поліном квадратної матриці $A$ розміру $n\times n$ — це многочлен степеня $n$ від змінної $\lambda ,$ який дорівнює

$p_A(\lambda )=\det (A-I_n\lambda )$, де $I_n$ — одинична матриця порядку $n$.

Мотивація

Скаляр $\lambda$ є власним значенням матриці A для власного вектора $𝐯$ тоді і тільки тоді коли:

$A𝐯=\lambda 𝐯,$

або

$(\lambda I_n-A)𝐯=0$

Оскільки $𝐯\ne 0,$ то $(\lambda I_n-A)$ повинна бути виродженою, а отже:

$\det (\lambda I_n-A)=0$.

Властивості

• Неважко переконатися, що

$p_A(\lambda )={\lambda }^n-\mathrm{tr}A{\lambda }^{n-1}+\dots +(-1{)}^n\det A$

• Для матриць елементи яких комутативними є $\mathbb{Q}$-алгебрами, характеристичний многочлен можна записати як:

  $p_A(\lambda )=\sum _{i=0}^n(-1{)}^i{q}_{n-i}(\mathrm{tr}A,\mathrm{tr}{A}^2\dots ,\mathrm{tr}{A}^{n-i}){\lambda }^i,$

  де $q_{n-i}$— многочлени із раціональними коефіцієнтами, що описують залежність елементарних симетричних многочленів від степеневих симетричних многочленів у тотожностях Ньютона (тобто $e_j=q_j(p_1,...p_j).$)

• Характеристичні поліноми подібних матриць збігаються:

$p_{B^{-1}AB}(\lambda )=p_A(\lambda )$

• Характеристичні поліноми добутку квадратних матриць не залежать від порядку множників:

$p_{BA}(\lambda )=p_{AB}(\lambda )$

• Характеристичний поліном від самої матриці дорівнює нульовій матриці (теорема Гамільтона — Келі):

$p_A(A)=0.$

Характеристичне рівняння

Характеристичним рівнянням (або секулярним рівнянням; така назва пов'язана з тим, що це рівняння зустрічається при дослідженні столітніх збурень планет; з латині: `saeculum' --- століття.) називається рівняння

$p_A(\lambda )=\det (\lambda I_n-A)=0$

Корені характеристичного полінома називаються характеристичними числами матриці $A.$

Тільки вони є власними значеннями матриці $A.$

Див. також

• Визначник матриці
• Слід матриці

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра