Функція Кантора

Графік функції Кантора

Функція Кантора (також драбина Кантора чи драбина Диявола) — є прикладом монотонної неперервної функції $[0,1]\to [0,1]$, що не є рівною константі, але її похідна рівна нулю майже всюди.

Побудова

Розглянемо функцію, рівну $1/2$ на $[1/3,2/3]$, $1/4$ на $[1/9,2/9]$, $3/4$ на $[7/9,8/9]$ і так далі. На інших точках одиничного відрізку довизначимо функцію до неперервної. Одержана функція і називається функцією Кантора.

Формальне визначення

Функцію можна побудувати за допомогою наступних кроків.

1. Подати дійсне число x в системі числення з основою 3 уникаючи де можливо 1 (це можливо у двох випадках подібних до 022222… = 100000… чи 200000… = 122222… на зразок як в десятковій системі 1 = 0,999999…)
2. Замінити першу цифру 1 на 2, а всі наступні цифри на 0.
3. Замінити всі 2 на 1.
4. Інтерпретувати одержану послідовність, як дійсне число в двійковій системі числення. Дане число c(x) і є значенням функції Кантора від аргументу x.

Властивості

• Похідна функції Кантора визначена і рівна нулю на всіх точках одиничного відрізка крім множини Кантора, яка є множиною міри нуль.
• Функція Кантора є неперервною, має обмежену варіацію, але не є абсолютно неперервною.
• Функція Кантора є функцією розподілу випадкової величини, що рівномірно розподілена на множині Кантора.
• Довжина кривої графіка функції рівна 1.

Див. також

• Сингулярна функція