Функція Гудермана

Графік функції Гудермана

Функція Гудермана(також гіперболічна амплітуда або гудерманіан) — спеціальна функція, що пов'язує тригонометричні і гіперболічні функції. Названа на честь німецького математика Крістофа Гудермана.

Функція визначена як:

$\text{gd }x$	$=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\cosh t}$
	$=2\text{arctg}\left(\text{tgh }\frac{x}{2}\right)$
	$=2\text{arctg }{e}^x-\frac{\pi }{2}$

Головні властивості

Функція Гудермана визначає зв'язок, який існує між тригонометричними і гіперболічними функціями без застосування комплексного аналізу.

$\text{tgh }\frac{x}{2}=\text{tg }\frac{\text{gd }x}{2}$

$\begin{array}{ccc}\sinh x& =& \text{tg}\left(\text{gd }x\right)\\ \cosh x& =& \sec \left(\text{gd }x\right)\\ \text{tgh }x& =& \sin \left(\text{gd }x\right)\\ \text{sech }x& =& \cos \left(\text{gd }x\right)\\ \text{csch }x& =& \text{ctg}\left(\text{gd }x\right)\\ \text{ctgh }x& =& \csc \left(\text{gd }x\right)\end{array}$

Експоненційну функцію можна виразити через функцію Гудермана:

$e^x$	$=\frac{1}{\cos \left(\text{gd }x\right)}+\text{tg}\left(\text{gd }x\right)=\sec \left(\text{gd }x\right)+\text{tg}\left(\text{gd }x\right)$
	$=\text{tg}(\frac{\pi }{4}+\frac{\text{gd }x}{2})$
	$=\frac{1+\sin \left(\text{gd }x\right)}{\cos \left(\text{gd }x\right)}$

Похідна функції Гудермана рівна:

$\frac{d}{dx}\text{gd }x=\text{sech }x$

Розклад в ряд Тейлора для функції Гудермана має вигляд:

$\mathrm{gd}(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{24}-\frac{61x^7}{5040}+\dots$

Обернена функція

Обернена функція до функції Гудермана (що позначається як $\text{arcgd }x$ або ${\text{gd}}^{-1}x$) рівна:

$\text{arcgd }x$	$={\text{gd}}^{-1}x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\cos t}$
	$=\text{arcosh}(\sec x)=\text{artgh}(\sin x)$
	$=\ln (\sec x(1+\sin x))$
	$=\ln (\text{tg }x+\sec x)=\ln \left(\text{tg}(\frac{\pi }{4}+\frac{x}{2})\right)$
	$=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)=\text{artgh}(\sin x)$

Окрім того справедливою є рівність:

$i\text{gd }x=\text{arcgd}\left(ix\right)$

Похідна оберненої функції Гудермана рівна:

$\frac{d}{dx}\text{arcgd }x=\sec x$

Похідні, ряди, інтеграли

Похідні функції Гудермана і оберненої функції Гудермана дорівнюють відповідно гіперболічному і тригонометричному секансу:

$\frac{d}{dx}\mathrm{gd}x=\mathrm{sech}x,$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcgd}x=\sec x.$

Розвинення в ряд:

$\mathrm{gd}x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{24}-\frac{61x^7}{5040}+\frac{277x^9}{72576}+\dots ,$

$\mathrm{arcgd}x=x+\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{24}+\frac{61x^7}{5040}+\frac{277x^9}{72576}+\dots$

Коефіцієнти розкладу гудерманіана і антигудерманіана при членах однакового степеня збігаються за модулем, однак у членів зі степенями 3, 7, 11,... коефіцієнти розкладу гудерманіана від'ємні, а в оберненої функції — додатні.

Інтеграл функції Гудермана:

$\int \mathrm{gd}zdz=-\frac{\pi }{2}z+i(\mathrm{L}{\mathrm{i}}_{\mathrm{2}}(-i{e}^x)-\mathrm{L}{\mathrm{i}}_{\mathrm{2}}(i{e}^x)),$

где Шаблон:Math — дилогарифм.

Гудерманіан і антігудерманіан, що дозволяють легко переходити від гіперболічних до тригонометричних функцій і назад, використовуються для аналітичного інтегрування методом тригонометричної і гіперболічної підстановки.

Див. також

• Гіперболічні функції
• Тригонометричні функції

Посилання

• Шаблон:MathWorld