Формула Муавра

Формула Муавра — формула, за якою для будь-якого комплексного числа $x$ та будь-якого цілого числа $n$ виконується рівність:

${(\cos x+i\sin x)}^n=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).$

Важливість формули полягає у поєднанні двох розділів математики — тригонометрії та комплексного аналізу.

Вперше опублікована у 1730 році у праці Абрахама де Муавра «Miscellanea analytica».

Зв'язок з формулою Ейлера

Історично формулу Муавра було доведено раніше за формулу Ейлера:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

проте її легко отримати з неї. Згідно із законом піднесення до цілого степеня:

${\left(e^{ix}\right)}^n=e^{i(nx)},$

далі по формулі Ейлера:

$e^{i(nx)}=\cos (nx)+i\sin (nx).$

Доведення по індукції

Слушність формули Муавра може бути доведена для натуральних чисел за допомогою математичної індукції, а потім поширена на всю множину цілих чисел. Позначимо як Шаблон:Math таке твердження (Шаблон:Mvar — ціле):

$(\cos x+i\sin x{)}^n=\cos nx+i\sin nx.$

Вочевидь Шаблон:Math певне, оскільки при Шаблон:Math твердження обертається на тотожність. Припустимо, що Шаблон:Math певне для будь-якого натурального Шаблон:Mvar:

${(\cos x+i\sin x)}^k=\cos kx+i\sin kx.$

Розглянемо Шаблон:Math:

$\begin{array}{cc}{(\cos x+i\sin x)}^{k+1}& ={(\cos x+i\sin x)}^k(\cos x+i\sin x)\\ & =(\cos kx+i\sin kx)(\cos x+i\sin x)& & \text{внаслідок індуктивного припущення}\\ & =\cos (kx)\cos x-\sin (kx)\sin x+i(\cos (kx)\sin x+\sin (kx)\cos x)\\ & =\cos ((k+1)x)+i\sin ((k+1)x)& & \text{згідно з тригонометричними тотожностями}\end{array}$

Дивіться Формули для суми аргументів тригонометричних функцій.

Отже, ми довели, що в разі певності Шаблон:Math також певне Шаблон:Math. Зважаючи на певність Шаблон:Math, згідно принципу математичної індукції приходимо до висновку, що твердження певне для всіх натуральних чисел. Далі, вочевидь Шаблон:Math також певне, оскільки Шаблон:Math. Насамкінець, в разі негативного показника Шаблон:Math, розглядатимемо степінь як обернену величину степеня з натуральним показником Шаблон:Mvar:

$\begin{array}{cc}{(\cos x+i\sin x)}^{-n}& =({(\cos x+i\sin x)}^n{)}^{-1}\\ & ={(\cos nx+i\sin nx)}^{-1}\\ & =\cos (-nx)+i\sin (-nx).(*)\\ \end{array}$

Рівність (*) є результатом тотожності:

$z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^2},$

де Шаблон:Math.

Отже, Шаблон:Math певне для всієї множини цілих чисел Шаблон:Mvar.

Обчислення коренів n ступеня

Схожа формула може бути використана й и при обчисленні корнів n-й ступеня з ненулевого комплексного числа:

$z^{1/n}=\left[r\right(\cos (\phi +2\pi k)+i\sin (\phi +2\pi k)){]}^{1/n}=r^{1/n}(\cos \frac{\phi +2\pi k}{n}+i\sin \frac{\phi +2\pi k}{n}),$

де $k=0,1,\dots ,n-1$.

З основної теореми алгебри випливає, що корені $n$-го ступеня з комплексного числа завжди існуюсть, та їх кількість дорівнює $n$. На комплексній площині, як видно з формули, усі ці корені є вершинами правильного n-кутника, що вписаний у коло радіусу $\sqrt[n]{r}$ з центром у нулі.

При $r=1$ з формули Муавра випливає вираз для обчислення значень тригонометричних функцій з кратним аргументом.

Див. також

• Формула Ейлера

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга