Умови Інади

Умови Інади (Шаблон:Lang-en) в макроекономіці — припущення про характер виробничої функції, що гарантують стабільність економічного зростання в неокласичній моделі (Шаблон:Lang-en). У нинішньому вигляді введені Шаблон:НпШаблон:Sfn, названі на честь іншого японського економіста, Шаблон:Не перекладеноШаблон:Sfn.

Умови

Вважається, що задано неперервно диференційовну виробничу функцію $F:{ℝ}^n\to ℝ$, де $n$ — кількість факторів виробництва. Наприклад. для функції Кобба — Дугласа їх традиційно два: капітал $K$ і праця $L$. Тоді до виробничої функції можна поставити такі вимоги:

1. Значення функції в нулі дорівнює нулю $F(\mathrm{𝟎})=0$. При цьому вимагається, щоб функція дорівнювала нулю навіть якщо тільки один із факторів відсутній.
2. Функція є монотонно зростальною за кожним із факторів: $F{\text{'}}_{X_i}(𝐗)>0,\mathrm{\forall }i$.
3. Функція є строго увігнутою, тобто друга похідна функції від'ємна: ${\partial }^{2}f(𝐗)/\partial X_i^2<0,\mathrm{\forall }{x}_i$.
4. Границя першої похідної $F(𝐗)$ дорівнює нескінченності при $X_i$, що прямує до 0: $\underset{X_i\to 0}{\lim }\partial F(𝐗)/\partial X_i=+\mathrm{\infty }$;
5. границя першої похідної $F(𝐗)$ дорівнює 0 при $X_i$, що прямує до нескінченності: $\underset{X_i\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\partial F(𝐗)/\partial X_i=0$.

Умовами Інади називають як усі сформульовані вище вимогиШаблон:Sfn, так і останню групу вимог, що накладають обмеження на поведінку похідноїШаблон:Sfn.

Умови Інади мають такий зміст. Рівність функції нулю означає, що для виробництва потрібні ресурси і всі фактори виробництва обов'язково мають бути присутніми. Зростання означає, що більше факторів виробництва приносить більший випуск. Увігнутість є наслідком спадного граничного продукту. Вимоги до поведінки похідної означають, що у початковий момент кожна додаткова одиниця ресурсів дає економіці дуже багато випуску, але з часом, через спадання віддачі, зростати стає дедалі складніше. Кожна додаткова одиниця приносить дедалі менше.

З математичної точки зору, умови Інади гарантують існування збалансованої траєкторії зростання економіки в моделі (Шаблон:Lang-en).

Функція Кобба — Дугласа

Шаблон:Див. також З класу Шаблон:Нп усім переліченим умовам задовольняє лише функція Кобба — Дугласа. Легко перевірити виконання цих умов для функції $Y=F(K,L)=K^{\alpha }{L}^{1-\alpha }$ ($\alpha \in (0,1)$).

У виробництві відсутні капітал або праця, тоді:

$F(0,L)=0$, $F(K,0)=0$ .

Функція є монотонною за обома факторами виробництва:

$F{\text{'}}_K=\alpha K^{\alpha -1}{L}^{1-\alpha }>0$

$F{\text{'}}_L=(1-\alpha )K^{\alpha }{L}^{-\alpha }$.

Зменшена гранична віддача капіталу та праці:

$F^{\prime }{\text{'}}_K=\alpha (\alpha -1)K^{\alpha -2}{L}^{1-\alpha }<0$

$F^{\prime }{\text{'}}_L=-\alpha (1-\alpha )K^{\alpha }{L}^{-\alpha -1}<0$.

Поведінка першої похідної в нулі:

$\underset{K\to 0}{\lim }F{\text{'}}_K=\alpha K^{\alpha -1}{L}^{1-\alpha }=\mathrm{\infty }$

$\underset{L\to 0}{\lim }F{\text{'}}_L=(1-\alpha )K^{\alpha }{L}^{-\alpha }=\mathrm{\infty }$.

Поведінка першої похідної на нескінченності:

$\underset{K\to \mathrm{\infty }}{\lim }F{\text{'}}_K=\alpha K^{\alpha -1}{L}^{1-\alpha }=0$

$\underset{L\to \mathrm{\infty }}{\lim }F{\text{'}}_L=(1-\alpha )K^{\alpha }{L}^{-\alpha }=0$.

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття