Трилінійна інтерполяція

Трилінійна інтерполяція — узагальнення лінійної інтерполяції на тривимірний простір з регулярною сіткою.

Алгоритм

В тривимірному просторі з регулярною кубічною ґраткою з кроком 1, задано точку (x,y,z).

Обчислимо вагові коефіцієнти пропорційно відстані до сусідньої точки по кожній з осей:

$x_d=x-\lfloor x\rfloor$

$y_d=y-\lfloor y\rfloor$

$z_d=z-\lfloor z\rfloor$

Вісім точок кубічної ґратки оточують точку С.

Трилінійна інтерполяція.

Спочатко обчислимо 4 лінійні інтерполяції вздовж осі z (на малюнку направлена вправо):

$f_{\lfloor x\rfloor ,\lfloor y\rfloor }=(1-z_d)\cdot f(\lfloor x\rfloor ,\lfloor y\rfloor ,\lfloor z\rfloor )+z_d\cdot f(\lfloor x\rfloor ,\lfloor y\rfloor ,\lceil z\rceil )$

$f_{\lfloor x\rfloor ,\lceil y\rceil }=(1-z_d)\cdot f(\lfloor x\rfloor ,\lceil y\rceil ,\lfloor z\rfloor )+z_d\cdot f(\lfloor x\rfloor ,\lceil y\rceil ,\lceil z\rceil )$

$f_{\lceil x\rceil ,\lfloor y\rfloor }=(1-z_d)\cdot f(\lceil x\rceil ,\lfloor y\rfloor ,\lfloor z\rfloor )+z_d\cdot f(\lceil x\rceil ,\lfloor y\rfloor ,\lceil z\rceil )$

$f_{\lceil x\rceil ,\lceil y\rceil }=(1-z_d)\cdot f(\lceil x\rceil ,\lceil y\rceil ,\lfloor z\rfloor )+z_d\cdot f(\lceil x\rceil ,\lceil y\rceil ,\lceil z\rceil )$

Потім обчислимо 2 лінійні інтерполяції вздовж осі y (на малюнку направлена від глядача):

$f_{\lfloor x\rfloor }=(1-y_d)\cdot f_{\lfloor x\rfloor ,\lfloor y\rfloor }+y_d\cdot f_{\lfloor x\rfloor ,\lceil y\rceil }$

$f_{\lceil x\rceil }=(1-y_d)\cdot f_{\lceil x\rceil ,\lfloor y\rfloor }+y_d\cdot f_{\lceil x\rceil ,\lceil y\rceil }$

Вкінці лінійно проінтерполюємо вздовж осі x (на малюнку направлена вгору):

$f(c)=(1-x_d)\cdot f_{\lfloor x\rfloor }+x_d\cdot f_{\lceil x\rceil }.$

Результат трилінійної інтерполяції не залежить від порядку вибору осей.

$f(c)=INT(f(c_0),f(c_1))\leftarrow \{\begin{array}{c}f(c_0)=INT(f(c_{00}),f(c_{10}))\\ f(c_1)=INT(f(c_{01}),f(c_{11}))\end{array}\leftarrow \{\begin{array}{c}f(c_{00})=INT(f(c_{000}),f(c_{100}))\\ f(c_{10})=INT(f(c_{010}),f(c_{110}))\\ f(c_{01})=INT(f(c_{001}),f(c_{101}))\\ f(c_{11})=INT(f(c_{011}),f(c_{111}))\end{array}$

Див. також

• Лінійна інтерполяція
• Білінійна інтерполяція
• Кубічна інтерполяція