Трикутна потенційна яма
Трикутна квантова яма — одновимірна потенційна яма, обмежена з одного боку нескінченно високою потенційною стінкою, а з іншого — потенціалом, що лінійно зростає зі збільшенням координати. Один із простих профілів потенціалу у квантовій механіці, що допускають точне розв'язання задачі про знаходження рівнів енергії та хвильових функцій частки, що знаходиться в ямі.
Розглянемо потенціальну енергію в наступному вигляді:
де — координата, — заряд електрону, — напруженість електричного поля, що визначає потенційну енергію, .
Рівняння Шредінгера в даному одномірному випадку можна записати у вигляді:
Для спрощення подальшого розгляду введемо безрозмірну змінну у вигляді:
Таким чином, отримаємо рівняння Шредінгера, яке не залежить від параметра енергії:
Розв'язок даного рівняння є
де функції Ейрі визначені таким чином:
Основна особливість даної задачі полягає в тому, що при потенційна енергія різко зростає, і тому ми повинні для зшивання хвильових функцій використати умову:
де — від'ємні корені функції Ейрі. Можна привести перші 5 значень цих коренів: , , , , .
Таким чином, ми маємо дискретний спектр енергій для трикутної потенційної ями у вигляді:
Константа може бути визначена з умови нормування хвильової функції:
звідки знаходимо, що
де — похідна функції Ейрі.
Оскільки між потенційною енергією та дискретним спектром справедливе наступне співвідношення в точках, що обмежують класично доступну ділянку:
тому ми можемо знайти значення координати :
Широкого розповсюдження дана задача набула в дослідженнях 2D-систем електронного газу інверсних шарів на поверхні розділу діелектрик — напівпровідник.