Точковмісна топологія

Нехай X — непорожня множина і $\tau =\{\varnothing ,A\subset X\mid p\in A\}$, де $p\in X$ — фіксована точка. Тоді τ є топологією на X, яка називається точковмісною.

Властивості

• Кожна точка простору Х, відмінна від p, є граничною точкою множини {p}.
• Замикання довільної відкритої непорожньої множини дорівнює Х.
• Внутрішність довільної замкненої непорожньої множини, відмінної від Х, є порожньою.
• Підпростір Х\{p} простору Х є дискретним.
• X є $T_0$-простором. Якщо $|X|⩾3$, то X не є $T_i$-простором, i=1,2,3,4,5. Коли $|X|=2$, X є $T_4$ і $T_5$-простором, але не є $T_1$, $T_2$ і $T_3$-простором. Якщо $|X|=1$, то X є $T_i$-простором, i=1,2,3,4,5.
• Х компактний (ліндельофів) тоді й лише тоді, коли X скінченний (не більш ніж зліченний).
• X є сепарабальним простором. Але коли Х є незліченним, підпростір Х\{p} не є сепарабельним.
• Х задовольняє першу аксіому зліченності. Х задовольняє другу аксіому зліченності тоді і тільки тоді, коли Х є не більш ніж зліченним.
• Дві різні точковмісні топології на Х гомеоморфні, але не порівнювані.
• Х є розсіяним простором.
• Х є гіперзв'язним просторм.
• Якщо $|X|⩾3$, то Х не ультразв'язний.
• Х не є слабко зліченно компактним.
• Х є псевдокомпактним.
• Х є лінійно зв'язним і локально лінійно зв'язним, але не дугово зв'язний.
• Х є локально компактним топологічним простором. Х є сильно локально компактний тоді і тільки тоді, коли Х є скінченним.
• Х є простором другої категорії.

Література

1. Шаблон:Citation