Топологія подвоєного початку координат

Топологія подвоєного початку координат є прикладом топології, заданої на ${ℝ}^2$ з додаванням додаткової точки 0*.

Побудова

Нехай $0^{*}\notin {ℝ}^2$ і $X={ℝ}^2\cup \{0^{*}\}$. Для будь-якої точки x з X, відмінної від 0 та 0*, околами є звичайні околи з евклідової топології на ${ℝ}^2\mathrm{\setminus }\{0\}$.

Для точок 0 та 0* як бази систем околів візьмемо відповідно множини

$N(0,n)=\{(x,y)\in {ℝ}^2:x^2+y^2<1/n^2,y>0\}\cup \{0\}$

та

$N(0^{*},n)=\{(x,y)\in {ℝ}^2:x^2+y^2<1/n^2,y<0\}\cup \{0^{*}\}$, $n\in \mathbb{N}$.

Властивості

• X задовільняє аксіому відокремлюваності T₂, але не T_2½ і вище.
• X не є компактним, паракомпактним і локально компактним, однак задовольняє другу аксіому зліченності.
• X дугово зв’язний.