Теорія нечіткої міри

Теорія нечіткої міри розглядає узагальнені міри, в яких властивість адитивності замінюється більш слабкою властивістю монотонності. У теорії нечітких мір центральним поняттям є нечітка міра (також ємність), яке було введене Шаблон:Нп в 1953 році і незалежно від нього, визначено Сугено в 1974 році в контексті Шаблон:Нп. Існує цілий ряд різних класів нечітких мір, включаючи міри Шаблон:Нп; можливості/необхідності; і ймовірнісні міри, які є підмножиною класичних мір.

Визначення

Нехай $𝐗$ — Шаблон:Нп , $𝒞$ — клас підмножин $𝐗$, і $E,F\in 𝒞$. функція $g:𝒞\to ℝ$ така, що:

1. $\mathrm{\varnothing }\in 𝒞\Rightarrow g(\mathrm{\varnothing })=0$
2. $E\subseteq F\Rightarrow g(E)\le g(F)$

називається нечіткою мірою. Нечітка міра називається нормалізованою або регулярною, якщо $g(𝐗)=1$.  

Властивості нечітких мір

Для будь-яких $E,F\in 𝒞$, нечітка міра:

• адитивна, якщо $g(E\cup F)=g(E)+g(F).$ Для всіх $E\cap F=\mathrm{\varnothing }$;
• супермодулярна, якщо $g(E\cup F)+g(E\cap F)\ge g(E)+g(F)$;
• Шаблон:Нп, якщо $g(E\cup F)+g(E\cap F)\le g(E)+g(F)$;
• суперадитивна, якщо $g(E\cup F)\ge g(E)+g(F)$ для всіх $E\cap F=\mathrm{\varnothing }$;
• субадитивна, якщо $g(E\cup F)\le g(E)+g(F)$ для всіх $E\cap F=\mathrm{\varnothing }$;
• симетрична, якщо $|E|=|F|$ при $g(E)=g(F)$;
• булева, якщо $g(E)=0$ або $g(E)=1$.

Розуміння властивостей нечітких мір корисно в застосуванні. Коли нечітка міра використовується для визначення такої функції, як Шаблон:Нп або Шаблон:Нп, ці властивості будуть вирішальними для розуміння поведінки функції. Наприклад, інтеграл Шоке щодо адитивної нечіткої міри зводиться до інтеграла Лебега. У дискретних випадках симетричне нечітке вимірювання призведе до появи оператора Шаблон:Нп (ВЗУ). Субмодулярні нечіткі міри призводять до появи опуклих функцій, тоді як надмодулярні нечіткі міри призводять до появи увігнутих функцій, коли вони використовуються для визначення інтеграла Хоке.

Представлення Мебіуса

Нехай g — нечітка міра, представлення Мебіуса g задається множинною функцією M, де для кожного $E,F\subseteq X$,

$M(E)=\sum _{F\subseteq E}(-1{)}^{|E\mathrm{\setminus }F|}g(F).$

Еквівалентними аксіомами представлення Мебіуса є:

1. $M(\mathrm{\varnothing })=0$.
2. $\sum _{F\subseteq E|i\in F}M(F)\ge 0$, для всіх $E\subseteq 𝐗$ та всіх $i\in E$

Нечітка міра у представлені Мебіуса M називається нормалізованою, якщо $\sum _{E\subseteq 𝐗}M(E)=1.$

Представлення Мебіуса може бути використано, щоб показати, які підгрупи X взаємодіють один з одним. Наприклад, адитивна нечітка міра має значення Мобіуса, які дорівнюють нулю, за винятком одиночних. Нечітке вимірювання g в стандартному поданні може бути відновлено з форми Мёбіуса за допомогою трансформації Зета:

$g(E)=\sum _{F\subseteq E}M(F),\mathrm{\forall }E\subseteq 𝐗.$

Допущенне спрощення для нечітких мір

Нечіткі міри визначаються на півкільцях множин або монотоних класах, які можуть бути настільки ж гранулярними, як булеан X, і навіть, у дискретних випадках, число змінних може бути дуже великим, як 2^|X|. З цієї причини, у контексті Шаблон:Нп та інших дисциплін, були запроваджені спрощення припущення щодо нечіткої міри, щоб визначити та використовувати їх менш обчислювально. Наприклад, коли ми кажемо, що нечітка міра є адитивною, буде мати місце рівність $g(E)=\sum _{i\in E}g(\{i\})$ і значення нечіткої міри можуть бути оцінені з значень на X. Аналогічно, симетрична нечітка міра визначається однозначно |X| значеннями. Двома важливими нечіткими мірами, які можуть бути використані, Сугено або $\lambda$ — нечітка міра і k-адитивні міри, введені Сугену і Грабішем відповідно.

λ-міра Сугено

$\lambda$ — міра Сугено є особливим випадком нечітких мір, визначених ітераційно. Воно має таке визначення:

Визначення

Нехай $𝐗=\{x_1,\dots ,x_n\}$ — скінченна множина і нехай $\lambda \in (-1,+\mathrm{\infty })$. $\lambda$ — міра Сугено є функцією $g:2^X\to [0,1]$ такою, що

1. $g(X)=1$.
2. якщо $A,B\subseteq 𝐗$ (альтернативно $A,B\in 2^{𝐗}$) і $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$ то $g(A\cup B)=g(A)+g(B)+\lambda g(A)g(B)$.

Як умова, значення g при однотонній множині $\left\{x_i\right\}$ називається щільністю і позначається $g_i=g(\left\{x_i\right\})$ . Крім того, ми маємо що $\lambda$ задовольняє властивість

$\lambda +1=\prod _{i=1}^n(1+\lambda g_i)$.

Тахані і Келлер, а також Ванг і Клір показали, що коли відомі щільності, можна використовувати попередній поліном, щоб отримати значення $\lambda$ однозначно.

k-адитивна нечітка міра

K-адитивна нечітка міра обмежує взаємодію між підмножинами $E\subseteq X$ до розміру $|E|=k$. Це різко знижує кількість змінних, необхідних для визначення нечіткої міри, і оскільки k може бути будь-яким від 1 (в цьому випадку нечітка міра є адитивною) до X, це дозволяє досягти компромісу між здатністю до моделювання та простотою.

Визначення

Дискретна нечітка міра g на множині X називається k-адитивною ($1\le k\le |𝐗|$) якщо її представлення Мебіуса дає $M(E)=0$, коли $|E|>k$ для будь-якого $E\subseteq 𝐗$ та існує підмножина F з елементами k, така що $M(F)\ne 0$.

Індекси Шеплі та взаємодії

У теорії ігор значення Шеплі або просто «Шеплі» використовується для позначення ціни гри. Значення Шеплі можуть бути розраховані для нечітких заходів для того, щоб дати деяку вказівку на важливість кожного одиночного. У випадку адитивних нечітких вимірювань значення Шеплі буде таким же, як і кожне окреме.

Для даного нечіткої міри g і $|𝐗|=n$ , індекс Шеплі для кожного $i,\dots ,n\in X$ є:

$\varphi (i)=\sum _{E\subseteq 𝐗\mathrm{\setminus }\{i\}}\frac{(n-|E|-1)!|E|!}{n!}[g(E\cup \{i\})-g(E)].$

Значення Шеплі — вектор $\mathit{\varphi }(g)=(\psi (1),\dots ,\psi (n)).$

Див. також

• Теорія ймовірностей
• Теорія можливостей

Примітки

• Beliakov, Pradera and Calvo, Aggregation Functions: A Guide for Practitioners, Springer, New York 2007.
• Wang, Zhenyuan, and, George J. Klir, Fuzzy Measure Theory, Plenum Press, New York, 1991.

Посилання

• Fuzzy Measure Theory at Fuzzy Image Processing Шаблон:Webarchive