Теорема де Гуа

Тетраедр з прямокутною вершиною O

Теорема де Гуа — одне з узагальнень теореми Піфагора на старші розмірності. Висічемо з куба піраміду, відрізавши площиною одну з його вершин. Тоді для такої піраміди вірно наступне співвідношення: квадрат площі грані протилежної вершині куба (вершині при прямому куті) дорівнює сумі квадратів площ граней прилеглих до цього кута.

$S_{ABC}^2=S_{ABO}^2+S_{ACO}^2+S_{BCO}^2.$

Іншими словами, якщо ми замінимо плоский прямий кут тривимірним, відрізки — гранями, а трикутник — пірамідою, то теорема знову виявиться вірною, але не для довжини сторін, а для площ граней отриманої піраміди. Існує узагальнення цієї теореми для N-вимірного простору.

Історія

У 1783 році теорема була опублікована за авторством Жана Поля де Гуа (1713-85), але приблизно в той же час, трохи більш загальне твердження було опубліковано іншим французьким математиком Tinseau d'Amondans (1746–1818). Однак ще раніше вона була відома Рене Декарту (1596–1650) і до нього Шаблон:Нп (1580–1635), який, ймовірно, першим відкрив її у 1622 році.

Доведення теореми

Доведення 1

Доведення 2

Доведення 3

Теорема може бути доведена з формули Герона для площі трикутника і теореми Піфагора.

Узагальнення

Теорема Піфагора і теорема де Гуа є окремим випадком для (n = 2, 3) більш загальної теореми стосовно n-симплексів з прямокутним кутом. Це, в свою чергу, є окремим випадком ще більш загальної теореми, яка може бути сформульована наступним чином.

Нехай P є k-вимірною площиною в ${ℝ}^n$ (так, що $k⩽n$) і нехай C є компактною підмножиною P. Для будь-якої підмножини $I\subseteq \{1,\dots ,n\}$ з точно k елементами, нехай $C_I$ буде ортогональною проєкцією C на лінійну оболонку векторів $e_{i_1},\dots ,e_{i_k}$, де $I=\{i_1,\dots ,i_k\}$ і $e_1,\dots ,e_n$ утворюють стандартний базис в ${ℝ}^n$. Тоді

${\text{vol}}_k^2(C)=\sum _I{\text{vol}}_k^2(C_I),$

де ${\text{vol}}_k(C)$ — це k-вимірний об'єм C і сума береться по всім підмножинам $I\subseteq \{1,\dots ,n\}$ з рівно k елементами.

Власно кажучи, це є передгільбертовою версією теореми Піфагора, застосованою до k-го зовнішнього ступеня n-вимірного Евклідову простору. Теорема де Гуа та ці узагальнення на n-симплекси з прямими кутами відповідають спеціальному випадку, коли k = n−1 та C є (n−1)-симплекс в ${ℝ}^n$ з вершинами на координатних осях.

Див. також

• Піфагорова четвірка

Література

• Шаблон:Cite journal - доведення теореми де Гуа й узагальнення на довільні тетраедри та піраміди.

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Sergio A. Alvarez: Нотатки про n-мірну теорему Піфагора Шаблон:Webarchive, Carnegie Mellon University.
• Теорема Де Гуа та теорема Піфагора у 3-D Шаблон:Webarchive — графічні ілюстрації та пов'язані властивості тетраедра.