Теорема Фенхеля — Моро

Функція, яка не напівнеперервна знизу. За теоремою Фенхеля — Моро, ця функція не дорівнює своїй другій спряженій.

Теорема Фенхеля — Моро — необхідна і достатня умова того, що дійснозначна функція дорівнює своєму дворазовому опуклому спряженню. При цьому для будь-якої функції вірно, що $f^{**}⩽f$ Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Твердження можна розглядати як узагальнення Шаблон:Не перекладеноШаблон:Sfn. Її використовують у теорії двоїстості для доведення сильної двоїстості (через Шаблон:Не перекладено).

Для скінченного випадку теорему довів Вернер Фенхель 1949 року і для нескінченновимірного — Шаблон:Нп 1960 року.

Твердження теореми

Нехай $(X,\tau )$ — гаусдорфів локально опуклий простір. Для будь-якої функції зі значеннями на розширеній числовій прямій $f:X\to ℝ\cup \{\pm \mathrm{\infty }\}$ випливає, що $f=f^{**}$, де $f^{*}$ — опукле спряження до $f$ тоді й лише тоді, коли виконується одна з таких умов:

1. $f$ є Шаблон:Не перекладено напівнеперервною знизу і опуклою функцією,
2. $f\equiv +\mathrm{\infty }$, або
3. $f\equiv -\mathrm{\infty }$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

У геометричному формулюванні теорема стверджує, що необхідною та достатньою умовою того, щоб надграфік функції був перетином надграфіків афінних функцій, є опуклість і замкнутість цієї функції.

Література

• Шаблон:Публікація
• Шаблон:Публікація
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття