Теорема Морери

У комплексному аналізі Теорема Морери дає достатні умови аналітичності неперервних комплекснозначних функцій. Названа на честь італійського математика Гіасінто Морери.

Твердження

Якщо функція $f(z)$ комплексного змінного $z$ у відкритій області $D$ неперервна і інтеграл від неї по будь-якому замкнутому контуру $\mathrm{\Gamma }\subset D$ рівний нулю, тобто

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f(z)dz=0$

то $f(z)$ — аналітична функція в $D$.

Умову теореми можна послабити, обмежившись вимогою рівності нулю інтегралів, узятих по контуру довільного трикутника, що належить області $D$.

Доведення

В доведенні спершу знаходиться первісна для функції $f$, після чого твердження випливає з факту, що голоморфні функції є аналітичними.

Без втрати загальності можна вважати область $D$ зв'язаною. Зафіксувавши деяку точку $a$ в області $D$, визначимо функцію $F$ в $D$ наступною формулою:

$F(b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(z)dz.$

Інтеграл може бути взятий по довільній кривій в $D$ від $a$ до $b$. Функція $F$ є однозначно визначена оскільки з умови теореми випливає рівність інтегралів на усіх кривих від $a$ до $b$. Звідси отримуємо, що $f$ є похідною $F$  :

$F^{\prime }(z)=f(z).$

Зокрема $F$ є голоморфною і, як наслідок, аналітичною. Відповідно $f$ також є голоморфною і аналітичною.

Застосування

Теорема Морери часто використовується при доведенні аналітичності функцій. Одним з центральних тверджень при цьому є те, що якщо послідовність $f_n$ аналітичних функцій рівномірно сходиться до функції $f$, то

$\oint \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(z)dz=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\oint f_n(z)dz=0$

тому, за теоремою Морери, гранична функція також буде голоморфною. Таким чином доводиться голоморфність багатьох функцій, визначених рядами і інтегралами, наприклад дзета-функції Рімана

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$

і гамма-функції

$\mathrm{\Gamma }(\alpha )=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{\alpha -1}{e}^{-t}dt$

Література

• Шаблон:Cite book
• Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасієв П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 с.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070542341
• Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372