Теорема Лебега про розклад міри

Ввідні означення

Нехай $F$ — монотонно неспадна, неперервна зліва функція дійсної змінної для якої $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)-\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)<+\mathrm{\infty }$. У напівкільці всіх інтервалів виду $[a,b)$ можна ввести міру ${\mu }_F$ як: ${\mu }_F[a,b)=F(b)-F(a)$. Її можна продовжити на борелівську сигма-алгебру породжену напівкільцем вказаних інтервалів. Зокрема для різних типів інтервалів $a,b$ із скінченними кінцями:

${\mu }_F[a,b)=F(b)-F(a)$,

${\mu }_F(a,b)=F(b)-F(a+0)$,

${\mu }_F(a,b]=F(b+0)-F(a+0)$,

${\mu }_F[a,b]=F(b+0)-F(a)$.

де $F(a+0)$ і $F(b+0)$ позначають границі справа функції $F$ у відповідних точках.

${\mu }_F$ називається мірою Лебега — Стілтьєса.

Типи мір

• $F$ — функція стрибків, яка є константою в усіх точках за виключенням не більш, ніж зліченної множини точок $x_i,i⩾1$ у яких функція «здійснює стрибок». Стрибок завжди є додатним і у точці розриву $x_i$ він є рівним $h_i=F(x_i+0)-F(x_i)$. Міра ${\mu }_F$ множини $A$ у цьому випадку є рівною:

${\mu }_F(A)=\sum _{x_i\in A}{h}_i$

У цьому випадку ${\mu }_F$ називається дискретною мірою.

• Функція F є неперервною, монотонно не спадною на $[a,b]$ і $F^{\prime }(x)=f(x)$. Тоді міра ${\mu }_F$ множини $A$ є рівною:

${\mu }_F(A)=\underset{A}{\int }f(x)dx$

У цьому випадку ${\mu }_F$ називається абсолютно неперервною мірою.

• $F$ — сингулярна функція (наприклад, драбина Кантора, де приріст $F$ рівний 1 на всьому відрізку, але $F$ є константою майже всюди ). Міра ${\mu }_F$ зосереджена у точках зростання функції і називається сингулярною мірою.

Теорема про розклад міри

Твердження для міри Лебега — Стілтьєса

Згідно теореми Лебега про розклад міри будь-яку міру Лебега — Стілтьєса можна представити у вигляді суми трьох мір — дискретної, абсолютно неперервної, і сингулярної.

Твердження для σ-адитивних мір

Якщо $\mu$ і $\nu$ є заданими на вимірному просторі $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma })$ двома σ-скінченними мірами (чи, більш загально, σ-скінченними σ-адитивними зарядами), тоді існують дві міри (чи, відповідно σ-адитивні заряди) ${\nu }_0$ і ${\nu }_1$ для яких:

• $\nu ={\nu }_0+{\nu }_1$
• ${\nu }_0\ll \mu$ (тобто ${\nu }_0$ є абсолютно неперервною щодо $\mu$)
• ${\nu }_1\perp \mu$ (тобто ${\nu }_1$ і $\mu$ є сингулярними).

Ці дві міри є однозначно визначеними для $\mu$ and $\nu .$

Випадок міри Лебега — Стілтьєса одержується якщо $\mu =\nu$ є мірою Лебега — Стілтьєса, після чого її можна розкласти на абсолютно неперервну і сингулярну частини, а тоді із сингулярної частини окремо виділити (не більш, ніж зліченну) підмножину точок міра кожної з яких є додатною і відповідну дискретну міру.

Теорема Лебега пов'язана із теоремою теоремою Радона — Нікодима і її доведення можна одержати паралельно із доведенням цієї теореми (як у другому доведені у відповідній статті).

Див. також

• Інтеграл Лебега — Стілтьєса
• Теорема Радона — Нікодима

Джерела

• Шаблон:Колмогоров.Фомин