Теорема Ейлера про чотирикутник

$a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+4g^2$

Теорема Ейлера про чотирикутник (також закон Ейлера для чотирикутників) — теорема планіметрії, названа на честь Леонарда Ейлера, яка описує співвідношення між сторонами опуклого чотирикутника і його діагоналями. Теорема є узагальненням тотожності паралелограма, яку, в свою чергу, можна розглядати як узагальнення теореми Піфагора; тому іноді використовують назву теорема Ейлера — Піфагора.

Теорема і окремі випадки

Для опуклого чотирикутника зі сторонами $a,b,c,d$ і діагоналями $e$ і $f$, середини яких з'єднані відрізком $g$, виконується рівність:

$$a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+4g^2$$

Якщо чотирикутник є паралелограмом, то середні точки діагоналей збігаються і довжина відрізка $g$, що з'єднує їх, дорівнює 0. Крім того, у паралелограма довжини паралельних сторін рівні, отже, в такому випадку теорема Ейлера зводиться до формули:

$$2a^2+2b^2=e^2+f^2$$

яку називають тотожністю паралелограма.

Якщо чотирикутник є прямокутником, то рівність ще спрощується, оскільки тепер дві діагоналі рівні:

$$2a^2+2b^2=2e^2$$

Ділення на 2 дає теорему Ейлера — Піфагора:

$$a^2+b^2=e^2$$

Іншими словами: для прямокутника відношення сторін чотирикутника і його діагоналей описує теорема ПіфагораШаблон:Sfn.

Альтернативні формулювання та розширення

Теорема Ейлера для паралелограма

Ейлер вивів описану вище теорему як наслідок іншої теореми, яка, з одного боку, менш елегантна, оскільки вимагає додавання ще однієї точки, але, з іншого боку, дає більше розуміння властивостей чотирикутника.

Для заданого опуклого чотирикутника $ABCD$ Ейлер увів додаткову точку $E$, таку, що $ABED$ утворює паралелограм; тоді виконується така рівність:

$$|AB{|}^2+|BC{|}^2+|CD{|}^2+|AD{|}^2=|AC{|}^2+|BD{|}^2+|CE{|}^2$$

Відстань $|CE|$ між додатковою точкою $E$ і точкою $C$ чотирикутника, відповідає відрізку, який не є частиною паралелограма. Довжину цього відрізка можна розглядати як міру відмінності розглянутого чотирикутника від паралелограма, або, іншими словами, як міру правильності члена $|CE{|}^2$ у початковій рівності тотожності паралелограмаШаблон:Sfn.

Оскільки точка $M$ є серединою відрізка $AC$, то отримуємо $\frac{|AC|}{|AM|}=2$. Точка $N$ є серединою відрізка $BD$, і вона також є серединою відрізка $AE$, оскільки $AE$ і $BD$ є діагоналями паралелограма $ABED$. Звідси отримуємо $\frac{|AE|}{|AN|}=2$, і, отже, $\frac{|AC|}{|AM|}=\frac{|AE|}{|AN|}$. Із теореми Фалеса (і оберненої) випливає, що $CE$ і $NM$ паралельні. Тоді $|CE{|}^2=(2|NM|{)}^2=4|NM{|}^2$, звідки й випливає теорема ЕйлераШаблон:Sfn.

Теорему Ейлера можна розширити на множину чотирикутників, яка включає перетинні і непланарні. Вона виконується для так званих узагальнених чотирикутників, які складаються з чотирьох довільних точок у просторі ${ℝ}^n$, пов'язаних ребрами з утворенням циклічного графуШаблон:Sfn.

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга

Посилання

• Шаблон:MathWorld