Теорема Гірсанова

Візуалізація теореми Гірсанова — в лівій частині зображено процес Вінера з від'ємним дріфтом за канонічною мірою $P$; в правій частині кожен шлях процесу забарвлений відповідно до його ймовірності за мартингальною мірою $Q$. Перетворення щільності з $P$ на $Q$ задається теоремою Гірсанова.

У теорії ймовірностей теорема Гірсанова (названа на честь Ігоря Володимировича Гірсанова ) описує, як змінюється динаміка стохастичних процесів при зміні вихідної міри на еквівалентну ймовірнісну міру. Шаблон:RpТеорема особливо важлива в теорії фінансової математики, оскільки вона демонструє як перетворити міру, яка описує ймовірність того, що базовий інструмент (такий як ціна акції або відсоткова ставка ) прийме певне значення або значення нейтральної за ризиком міри, яка є дуже корисним інструментом для визначення цін на похідні фінансові інструменти.

Історія

Перші результати були доведені Камероном—Мартіном у 1940-х роках та Гірсановим у 1960 році . Згодом вони були поширені на більш загальні класи процесів, що завершилися загальною формою Ленгларта (1977).

Значущість

Теорема Гірсанова грає важливу роль в загальній теорії випадкових процесів, так як вона демонструє, що якщо $Q$ є абсолютно неперервної мірою щодо $P$, то кожен $P$-семімартінгал є $Q$-семімартингалом.

Твердження

Спочатку сформулюємо теорему для особливого випадку, коли стохастичний процес, що лежить в основі, є процесом Броунівского руху. Цього окремого випадку достатньо для ціноутворення, що нейтралізує ризик, у моделі Блека—Шоулза та у багатьох інших моделях (наприклад, в усіх неперервних моделях).

Нехай $\{W_t\}$ є процесом Вінера на ймовірнісному просторі $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$. Нехай $\{X_t\}$ є вимірним процесом, адаптованим до природної фільтрації процесу Вінера $\{{ℱ}_t^W\}$ з $X_0=0$ .

Визначимо експоненту Долеана—Даде $ℰ(X{)}_t$ $X$ по відношенню до $W$

$ℰ(X{)}_t=\exp (X_t-\frac{1}{2}[X{]}_t),$

де $[X{]}_t$ — це квадратична варіація $X_t$. Якщо $ℰ(X{)}_t$ є строго додатним мартингалом, на ньому можна визначити ймовірнісну міру $Q$ $(\mathrm{\Omega },ℱ)$ таку, що маємо похідну Радона—Нікодима

$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P}{|}_{{ℱ}_t}=ℰ(X{)}_t$.

Тоді для кожного $t$ міра $Q$ звужується на ${ℱ}_t^W$, що еквівалентно $P$ звужується на ${ℱ}_t^W$. Крім того, якщо $Y$ — локальний мартингал за $P$, то процес

${\tilde{Y}}_t=Y_t-{[Y,X]}_t$

є $Q$ локальним мартингалом на фільтрованому просторі ймовірностей $(\mathrm{\Omega },ℱ,\{{ℱ}_t^W\},Q)$.

Висновок

Якщо $X$ — неперервний процес і $W$ — броунівський рух за мірою $P$, то

${\tilde{W}}_t=W_t-{[W,X]}_t$

— це броунівський рух за $Q$.

Справа в тому, що ${\tilde{W}}_t$ неперервний; за теоремою Гірсанова це $Q$ — локальний мартингал, а шляхом обчислення квадратичної варіації

${\left[\tilde{W}\right]}_t=[W_t,W_t]-2[W_t,[W,X{]}_t]+[[W,X{]}_t,[W,X{]}_t]={\left[W\right]}_t=t$

за характеристикою Леві броунівського руху випливає, що $Q$ — броунівський рух.

Коментарі

У багатьох статтях процес $X$ визначається за допомогою

$X_t=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Y}_s\mathrm{d}{W}_s.$

Якщо $X$ має таку форму, то достатньою умовою для $ℰ(X)$ бути мартингалом — це умова Новікова, яка цього вимагає

$E_P[\exp \left(\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{Y}_s^2\mathrm{d}s\right)]<\mathrm{\infty }.$

Стохастична експонента $ℰ(X)$ — це процес $Z$, який вирішує стохастичне диференціальне рівняння

$Z_t=1+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Z}_s\mathrm{d}{X}_s.$

Побудована вище міра $Q$ не еквівалентна $P$ на ${ℱ}_{\mathrm{\infty }}$, оскільки це було б тільки в тому випадку, якщо похідна Радона—Нікодима була б рівномірно інтегрованим мартингалом, але описаний вище експоненціальний мартингал не є таким (для $\lambda \ne 0$ ).

Застосування у фінансах

У фінансах теорема Гірсанова використовується щоразу, коли потрібно вивести динаміку активу за новою ймовірнісною мірою. Найвідоміший випадок — перехід від історичної міри $P$ до нейтральної до ризику міри $Q$, яка виконується у моделі Блека—Шоулза за похідною Радона—Нікодима:

$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P}=ℰ\left(\underset{0}{\overset{\cdot }{\int }}\frac{r-\mu }{\sigma }\mathrm{d}{W}_s\right),$

де $r$ позначає миттєву безризикову ставку, $\mu$ дріфт активу та $\sigma$ його волатильність. Іншими класичними застосуваннями теореми Гірсанова є квантові коригування та розрахунок дріфтів форвардів за моделлю ринку LIBOR .

Дивись також

• Шаблон:Нп
• Шаблон:Нп