Теорема Гопфа — Рінова

Теорема Гопфа — Рінова стверджує, що для лінійно зв'язного ріманового многовиду $M$ наступні твердження еквівалентні:

$M$ — є повним метричним простором;
Для деякої точки $p \in M$ експоненційне відображення $\exp_{p} : T_{p} \to M$ визначено для всіх векторів у $T_{p}$ (де $T_{p}$ — дотичний простір до $M$ в точці $p$ ); Простори з такими властивостями називаються геодезично повними;
Кожна множина, обмежена і замкнута в $M$ , є компактною.

Наслідки

Будь-які дві точки p і q в лінійно зв'язному повному рімановому многовиді можна з'єднати геодезичною лінією довжина якої рівна відстані між p і q;
Будь-яка геодезична в лінійно зв'язному повному рімановому многовиді є необмеженою, тобто визначена для всіх дійсних чисел.

Сфера $𝕊^{n}$ , евклідовий простір $ℝ^{n}$ і гіперболічний простір $ℍ^{n}$ є геодезично повними;
Всі компактні зв'язані ріманові многовиди є геодезично повними;
Метричний простір $M : = ℝ^{2} ∖ {0}$ з метрикою інкукованою звичайним скалярним добутком не є геодезично повним. Зокрема точки $p = (x_{1}, x_{2}) \in M$ і $q = (- x_{1}, - x_{2}) \in M$ не зв'язані жодною геодезичною лінією в $M$ .

Теорема Гопфа — Рінова вірна для просторів з внутрішньою метрикою, не обов'язково рімановою (наприклад, фінслерових): якщо $(X, ρ)$ — локально компактний повний метричний простір з внутрішньою метрикою, то будь-які дві точки простору $X$ можна з'єднати найкоротшою лінією.
Теорема Гопфа — Рінова не вірна в нескінченновимірних просторах зокрема дві точки скінченновимірного повного Гільбертового многовиду можуть не бути сполученими жодною геодезичною лінією^[1]. Твердження теореми також неправильне для псевдоріманових многовидів зокрема многовидів Лоренца^[2].

Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971;
Кон-Фоссен, Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М., 1959.
Jost, J., Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-540-42627-2.
Manfredo Perdigao do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhauser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8.