Внутрішня метрика

Внутрішня метрика — метрика простору, що визначається за допомогою функціоналу довжини, як інфімум довжин усіх шляхів (кривих), що з'єднують дану пару точок.

Означення

Нехай задано топологічний простір $X$ і обраний клас деяких допустимих шляхів $\mathrm{\Gamma }$, що міститься в множині всіх неперервних шляхів в $X$.

• На просторі $X$ заданий функціонал довжини, якщо на множині $\mathrm{\Gamma }$ задана функція $L:\mathrm{\Gamma }\to {ℝ}_{+}\cup \mathrm{\infty }$, що ставить у відповідність кожному $\gamma \in \mathrm{\Gamma }$ значення $L(\gamma )$ (невід'ємне число або нескінченність), яке називається довжиною шляху $\gamma$.

• Метрика $\rho$ на просторі $X$ називається внутрішньою, якщо для будь-яких двох точок $x,y\in X$ відстань між ними визначається формулою $\rho (x,y)=\inf \{L(\gamma )\},$, де інфімум береться по всіх допустимих шляхах, що з'єднують точки $x,y\in X$.

Пов'язані означення

• Нехай $x,y\in X$ — дві довільні точки метричного простору $\rho ,X$ і $\epsilon$ — довільне додатнє число. Точка $z_{ϵ}\in X$ називається їх $\epsilon$-серединою, якщо $\rho (x,z_{\epsilon }),\rho (y,z_{\epsilon })<\frac{1}{2}\rho (x,y)+\epsilon .$

• Метричний простір $(X,\rho )$ називається геодезичним, якщо будь-які дві точки $X$ можна з'єднати найкоротшою.

Властивості

• Якщо $(X,\rho )$ — простір з внутрішньої метрикою, то для будь-яких двох точок $x,y\in X$ і будь-якого $\epsilon >0$ існує їх $\epsilon$-середина. У випадку, коли метричний простір $(X,\rho )$ повний, має місце і зворотне твердження: якщо для будь-яких двох точок $x,y\in X$ і будь-якого $\epsilon >0$ існує їх $\epsilon$-середина, то ця метрика внутрішня.
• Повний метричний простір $(X,\rho )$ з внутрішньої метрикою має наступну властивість: для будь-яких двох точок $x,y\in X$ і $\epsilon >0$ знайдеться крива довжини $<\rho (x,y)+\epsilon ,$ що з'єднує точки $x$ і $y$. Крім того, в повному метричному просторі з внутрішньої метрикою довжина найкоротшої збігається з відстанню між її кінцями.
• Теорема Гопфа — Рінова: Якщо $(X,\rho )$ — локально компактний повний метричний простір з внутрішньої метрикою, то будь-які дві точки $X$ можна з'єднати найкоротшою. Більш того, простір $X$ є обмежено компактним (тобто всі обмежені замкнуті підмножини $X$ є компактними).

Література

• Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В., Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004. ISBN 5-93972-300-4