Теорема Гассе про еліптичні криві

Шаблон:Універсальна картка Теорема Гассе про еліптичні криві (Шаблон:Lang-en, Шаблон:Lang-en – рамки Гассе) дає верхню та нижню оцінки кількості точок на еліптичній кривій над скінченним полем.

Нехай $N$ – кількість точок на еліптичній кривій $E$ над скінченним полем з $q$ елементів, Гельмут Гассе показав, що

$|N-(q+1)|\le 2\sqrt{q}$

В якості гіпотези цю оцінку висунув Еміль Артін в 1924 році. Вона була доведена Гассе в 1933 році, доведення було опубліковано в серії статей у 1936 році.

Теорема Гассе еквівалентна визначенню абсолютного значення коренів локальної дзета-функції Е. У цьому вигляді її можна розглядати як аналог гіпотези Рімана для Шаблон:Не перекладено, асоційованого з еліптичною кривою.

Рамки Гассе — Вейля

Узагальненням рамок Гассе для алгебраїчних кривих вищого роду є рамки Гассе — Вейля. Вони встановлюють обмеження на кількість точок кривої над скінченним полем. Нехай $\mathrm{\#}C({𝔽}_q)$ – кількість точок кривої $C$ роду $g$ над скінченним полем ${𝔽}_q$, тоді

$|\mathrm{\#}C({𝔽}_q)-(q+1)|\le 2g\sqrt{q}.$

Цей результат також еквівалентний визначенню абсолютного значення коренів локальної дзета-функції $C$, і є аналогом гіпотези Рімана для поля функцій, асоційованого з кривою.

Рамки Гассе — Вейля зводяться до звичайних рамок Гассе при застосуванні до еліптичних кривих, бо вони мають рід $g=1$.

Рамки Гассе — Вейля є наслідком гіпотез Вейля, висунутих Андре Вейлем у 1949 році. Ці гіпотези були доведені в 1974 році П'єром Делінем.

Див. також

• Алгоритм Шуфа

Джерела

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Chapter V of Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation