Теорема Бореля — Каратеодорі

У комплексному аналізі, теорема Бореля — Каратеодорі стверджує, що довільна голоморфна функція може бути обмеженою своєю дійсною частиною. Теорема є застосуванням принципа максимуму модуля. Названа на честь Еміля Бореля і Костянтина Каратеодорі.

Твердження теореми

Нехай $f$ — функція, що є гомоморфною на замкнутому крузі радіуса R з центром в початку координат. Припустимо, що r < R. Тоді виконується нерівність:

$\Vert f{\Vert }_r⩽\frac{2r}{R-r}\underset{|z|=R}{\max }\mathrm{Re}f(z)+\frac{R+r}{R-r}|f(0)|.$

Норма у лівій частині позначає максимум модуля f у замкнутому крузі:

$\Vert f{\Vert }_r=\underset{|z|⩽r}{\max }|f(z)|=\underset{|z|=r}{\max }|f(z)|$

(остання рівність випливає із принципу максимуму модуля).

Доведення

Визначимо A як

$A=\underset{|z|⩽R}{\max }\mathrm{Re}f(z).$

Нехай спершу f(0) = 0. Оскільки Re f є гармонічною функцією, можна вважати A>0 і $A=\underset{|z|=R}{\max }\mathrm{Re}f(z).$ f є відображенням у півплощину P зліва від прямої x=A. Для доведення знайдемо відображення півплощини в круг, застосуємо лему Шварца після чого отримаємо нерівність.

Відображення $w\mapsto w/A-1$ переводить P у стандартну ліву півплощину. Відображення $w\mapsto R(w+1)/(w-1)$ переводить стандартну ліву півплощину у круг радіуса R з центром у початку координат. Композиція цих відображень і є необхідним відображенням:

$w\mapsto \frac{Rw}{w-2A}.$

Згідно леми Шварца застосованої до композиції цього відображення і f, маємо

$\frac{|Rf(z)|}{|f(z)-2A|}⩽|z|.$

Якщо |z| ≤ r то

$R|f(z)|⩽r|f(z)-2A|⩽r|f(z)|+2Ar$

отож

$|f(z)|⩽\frac{2Ar}{R-r}$,

що і треба було довести.

В загальному випадку, попереднє можна застосувати до функції f(z)-f(0):

$\begin{array}{cc}|f(z)|-|f(0)|& ⩽|f(z)-f(0)|⩽\frac{2r}{R-r}\underset{|w|=R}{\max }\mathrm{Re}(f(w)-f(0))\\ & ⩽\frac{2r}{R-r}(\underset{|w|=R}{\max }\mathrm{Re}f(w)+|f(0)|),\end{array}$

і після перестановок отримуємо необхідний результат.

Узагальнення для похідних функції

Якщо в умовах теореми також додатково задати умову $\underset{|z|=R}{\max }\mathrm{Re}f(z)⩾0$, то нерівності подібні до нерівностей у попередній теоремі задовольняють також похідні функції. А саме при цих умовах і при позначеннях як вище для всіх $n\in \mathbb{N}$:

$\Vert f^{(n)}{\Vert }_r=\underset{|z|=r}{\max }|f^{(n)}(z)|<\frac{2^{n+2}n!R}{(R-r{)}^{n+1}}(\underset{|z|=R}{\max }\mathrm{Re}f(z)+|f(0)|).$

Доведення

Якщо $\underset{|z|=R}{\max }\mathrm{Re}f(z)⩾0$ то з нерівності Бореля — Каратеодорі одержуємо нерівність:

$\underset{|z|=r}{\max }|f(z)|⩽\frac{R+r}{R-r}(\underset{|z|=R}{\max }\mathrm{Re}f(z)+|f(0)|).$

Для всіх $z$ для яких $|z|=r$ згідно інтегральної формули Коші

$f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_{|t-z|=\frac{R-r}{2}}\frac{f(t)dt}{(t-z{)}^{n+1}}$.

Оскільки $|t|⩽|z|+|t-z|=r+\frac{R-r}{2}=\frac{R+r}{2}$ тому з першої нерівності у цьому доведенні:

$|f(t)|⩽\underset{|\tau |=(R+r)/2}{\max }|f(\tau )|⩽\frac{R+\frac{R+r}{2}}{R-\frac{R+r}{2}}(\underset{|\tau |=R}{\max }\mathrm{Re}f(\tau )+|f(0)|)⩽\frac{4R}{R-r}(\underset{|\tau |=R}{\max }\mathrm{Re}f(\tau )+|f(0)|).$

Тоді з виразу інтегральної формули Коші:

$|f^{(n)}(z)|<\frac{n!}{((R-r)/2{)}^n}\frac{4R}{R-r}(\underset{|\tau |=R}{\max }\mathrm{Re}f(\tau )+|f(0)|)=\frac{2^{n+2}n!R}{(R-r{)}^{n+1}}(\underset{|\tau |=R}{\max }\mathrm{Re}f(\tau )+|f(0)|).$

Див. також

• Лема Шварца
• Принцип максимуму модуля

Література

• Lang, Serge (1999). Complex Analysis (4th ed.). New York: Springer-Verlag, Inc. ISBN 0-387-98592-1.
• Titchmarsh, E. C. (1938). The theory of functions. Oxford University Press.
• Шаблон:Cite book