Теорема Адамара про три кола

у комплексному аналізі, теорема Адамара про три кола — це твердження про поведінку голоморфних функцій.

Нехай $f(z)$ буде голоморфною функцією на кільці

$r_1\le \left|z\right|\le r_3.$

Нехай $M(r)$ буде максимумом $|f(z)|$ на колі $|z|=r.$ Тоді, $\log M(r)$ — це опукла функція логарифма $\log (r).$ Більше того, якщо $f(z)$ не у формі $c{z}^{\lambda }$ для деяких сталих $\lambda$ і $c$, тоді $\log M(r)$ є строго опуклою як функція від $\log (r).$

Висновок теореми можна перефразувати як

$\log \left(\frac{r_3}{r_1}\right)\log M(r_2)\le \log \left(\frac{r_3}{r_2}\right)\log M(r_1)+\log \left(\frac{r_2}{r_1}\right)\log M(r_3)$

для будь-яких трьох концентричних кіл радіусів $r_1<r_2<r_3.$

Теорема є наслідком теореми Адамара про три прямі. Справді, якщо позначити $g(z)=f(e^z)$ то $g(z)$ задовольняє умови теореми Адамара про три прямі на області $\{z=x+iy|\log r_1<x<\log r_1\}.$ Відповідно, якщо позначити $m:x\mapsto \underset{y}{\sup }|g(x+iy)|,$ то $M(r)=m(\log r).$ Згідно теореми Адамара про три прямі $\ln (m(\log r))$ є опуклою функцією і те саме є справедливим для $\log M,$ як функції $\log r.$

Посилання

• Шаблон:PlanetMath reference