Теорема Єгорова

Теорема Єгорова (теорема Северіні — Єгорова) — твердження в теорії міри про зв'язок збіжності майже всюди і рівномірної збіжності.

Твердження теореми

Нехай $(X,𝒮,\mu )$ — вимірний простір, в $E$ — підмножина $X$ скінченної міри. Якщо послідовність $f_n$ вимірних функцій збігається майже всюди до функції $f$, тоді для довільного числа $\delta >0$ існує множина $E_{\delta }$ така що $\mu (E_{\delta })<\delta$ і збіжність $f_n\to f$ є рівномірною на доповненні $E-E_{\delta }$.

Доведення

Нехай $E_{i,j}=\{x\in E:|f_j(x)-f(x)|<1/i\}.$ Оскільки $f_n\to f$ майже всюди, існує множина $S$ для якої $\mu (S)=0$ і для $i\in \mathbb{N}$ і $x\in E-S$ існує таке $m\in \mathbb{N},$ що з $j>m$ випливає $|f_j(x)-f(x)|<1/i$. Це можна записати як:

$E-S\subset {\cup }_{m\in \mathbb{N}}{\cap }_{j>m}{E}_{i,j},$

або еквівалентно,

${\cap }_{m\in \mathbb{N}}{\cup }_{j>m}(E-E_{i,j})\subset S.$

Оскільки $\{{\cup }_{j>m}(E-E_{i,j}){\}}_{m\in \mathbb{N}}$ є спадною послідовністю вкладених множин скінченної міри, перетин яких є пустою множиною, із неперервності зверху одержується

$\mu ({\cup }_{j>m}(E-E_{i,j}))\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0.$

Тому для довільного $i\in \mathbb{N}$, можна вибрати $m_i,$ так що

$\mu ({\cup }_{j>m_i}(E-E_{i,j}))<\frac{\delta }{2^i}.$

Нехай $E_{\delta }={\cup }_{i\in \mathbb{N}}{\cup }_{j>m_i}(E-E_{i,j}).$ Тоді $\mu (E_{\delta })\le \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mu ({\cup }_{j>m_i}(E-E_{i,j}))<\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\delta }{2^i}=\delta .$ Збіжність $f_n\to f$ є рівномірною на множині $E-E_{\delta }$. Справді для довільного $\epsilon >0$, існує $n$ таке що $1/n<\epsilon$. Якщо $x\in E-E_{\delta }$, тоді $x\in {\cap }_{i\in \mathbb{N}}{\cap }_{j>m_i}{E}_{i,j},$ звідки випливає, що для $j>m_n$, $x\in E_{n,j}$; тобто, $|f_j(x)-f(x)|<1/n<\epsilon$. Тому для довільного $\epsilon >0$ існує $N$ (визначене вище як $m_n$), що для $j>N$ виконується $|f_j(x)-f(x)|<\epsilon$ для довільного $x\in E-E_{\delta }$. Тобто на множині $x\in E-E_{\delta }$ збіжність є рівномірною, що й доводить теорему.

Див. також

• Теорема Лузіна

Джерела

• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2
• Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла Київ, 1989
• Шаблон:PlanetMath