Сфера Рімана

Сферу Рімана можна зобразити у вигляді площини комплексних чисел, яка обгорнута довкола сфери (як деяку форму стереографічної проєкції – детально описаної нижче).

Сфера Рімана — ріманова поверхня, природна структура на розширеній комплексній площині $\widehat{ℂ}=ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\},$ яка є комплексною проективною прямою $ℂ{\mathbb{P}}^1.$ Іншими словами це модель розширеної комплексної площини, де до звичайної комплексної площини додається точка на нескінченності. Відповідно до моделі Рімана, точка «∞» наближається до дуже великих чисел, так само як точка «0» є близькою до дуже малих чисел.

Як дійсний многовид дифеоморфна двовимірній сфері $S^2.$

Координати

Числові координати на сфері Рімана вводяться трьома способами:

• афінна комплексна координата z, яка приймає значення $\mathrm{\infty }$;
• проективні комплексні координати $[z_0:z_1]$;
• тривимірні дійсні координати $\xi ,\eta ,\zeta$, пов'язані рівнянням:

${\xi }^2+{\eta }^2+(\zeta -1{)}^2=1$.

Сфера Рімана стереографічної проєкції переводиться на площину

Перехід від одних координат до інших задається формулами:

$z=\frac{z_1}{z_0}$

$z_0:z_1=[\begin{array}{cc}\zeta :(\xi +i\eta )& \Leftarrow \zeta >0\\ 0:1& \Leftarrow \zeta =0\end{array}$

$\{\begin{array}{c}\xi +i\eta =\frac{2z}{1+|z{|}^2}\\ \zeta =\frac{2}{1+|z{|}^2}\end{array}$

$(\xi ,\eta ,\zeta )\mapsto z$ задає відображення сфери з виколотим полюсом на комплексну площину, яке називається стереографічною проєкцією.

Перетворення Мебіуса

Автоморфізмами сфери Рімана є перетворення Мебіуса. Нехай $a,b,c,d$ — матриця із $G{L}_2(ℂ)$. Її дія на сфері Рімана в термінах проективних комплексних координат — просто множення вектора-стовпця координат на матрицю. В афінних координатах дія виглядає так:

$z^{\prime }=\frac{az+c}{bz+d}$

Додаток

Сфера Рімана відома в теоретичній фізиці.

В спеціальній теорії відносності сфера Рімана є моделлю небесної сфери. Перетворення Мебіуса пов'язані з перетвореннями Лоренца. Перетворення Мебіуса і Лоренца зв'язані також зі спінорами. В квантовій механіці сфера Рімана параметризує стани систем, описуваних 2-вимірним простором (див. q-біт), зокрема спіна масивних часток з спіном 1/2, таких як електрон. В цьому контексті сферу Рімана називають сферою Блоха і використовують на ній координати «широта-довгота» майже як на звичайній сфері, тільки широту $\theta$ відраховують від полюса і ділять кут на 2, т. ч. $0<\theta <\pi /2$ (див. мал.)

В такому випадку вірні співвідношення:

$z_0:z_1=\cos \theta :e^{i\phi }\sin \theta$

$\{\begin{array}{c}\xi +i\eta =e^{i\phi }\sin 2\theta \\ \zeta -1=\cos 2\theta \end{array}$