Список сферичних гармонік

Візуальне представлення перших декількох дійсних сферичних гармонік. Голубий колір відповідає області, де функції додатні, а жовтий -- де від'ємні. Відстань від початку координат відповідає абсолютній величні гармоніки $Y_{\ell }^m(\theta ,\phi )$ у напрямку $(\theta ,\phi )$.

Дана стаття містить перелік ортонормованих сферичних гармонік, записаних у фазі Кондона-Шортлі до порядку $\ell =10$ (дана фаза впливає на знак «+» чи «-» у виразі для сферичної гармоніки). Формули наводяться як у в сферичній системі координат $r,\phi ,\theta$ так і в декартових координатах $x,y,z$, та $r$, де $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Використовується наступний зв'язок між компонентами $\theta$ і $\phi$ сферичної системи координат та декартовими координатами:$$\{\begin{array}{cc}\cos (\theta )& =z/r\\ e^{\pm i\phi }\cdot \sin (\theta )& =(x\pm iy)/r\end{array}$$Сферичні гармоніки представляють собою власні коливання тривимірного сферичного об'єму (кулі).

Комплекснозначні сферичні гармоніки

Для $l=0,1,\dots ,5$ див. також

ℓ = 0

$$Y_0^0(\theta ,\phi )=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{\pi }}$$

ℓ = 1

$$\begin{array}{cccccccc}{Y}_1^{-1}(\theta ,\phi )& =& & \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi }}\cdot e^{-i\phi }\cdot \sin \theta & & =& & \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi }}\cdot \frac{(x-iy)}{r}\\ Y_1^0(\theta ,\phi )& =& & \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi }}\cdot \cos \theta & & =& & \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi }}\cdot \frac{z}{r}\\ Y_1^1(\theta ,\phi )& =& -& \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi }}\cdot e^{i\phi }\cdot \sin \theta & & =& -& \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi }}\cdot \frac{(x+iy)}{r}\end{array}$$

ℓ = 2

$$\begin{array}{ccccccccc}{Y}_2^{-2}(\theta ,\phi )& =& & \frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{2\pi }}\cdot e^{-2i\phi }\cdot {\sin }^2\theta & & =& & \frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{2\pi }}\cdot \frac{(x-iy{)}^2}{r^2}& \\ Y_2^{-1}(\theta ,\phi )& =& & \frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{2\pi }}\cdot e^{-i\phi }\cdot \sin \theta \cdot \cos \theta & & =& & \frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{2\pi }}\cdot \frac{(x-iy)\cdot z}{r^2}& \\ Y_2^0(\theta ,\phi )& =& & \frac{1}{4}\sqrt{\frac{5}{\pi }}\cdot (3{\cos }^2\theta -1)& & =& & \frac{1}{4}\sqrt{\frac{5}{\pi }}\cdot \frac{(3z^2-r^2)}{r^2}& \\ Y_2^1(\theta ,\phi )& =& -& \frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{2\pi }}\cdot e^{i\phi }\cdot \sin \theta \cdot \cos \theta & & =& -& \frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{2\pi }}\cdot \frac{(x+iy)\cdot z}{r^2}& \\ Y_2^2(\theta ,\phi )& =& & \frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{2\pi }}\cdot e^{2i\phi }\cdot {\sin }^2\theta & & =& & \frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{2\pi }}\cdot \frac{(x+iy{)}^2}{r^2}& \\ \end{array}$$

ℓ = 3

$$\begin{array}{ccccccccc}{Y}_3^{-3}(\theta ,\phi )& =& & \frac{1}{8}\sqrt{\frac{35}{\pi }}\cdot e^{-3i\phi }\cdot {\sin }^3\theta & & =& & \frac{1}{8}\sqrt{\frac{35}{\pi }}\cdot \frac{(x-iy{)}^3}{r^3}& \\ Y_3^{-2}(\theta ,\phi )& =& & \frac{1}{4}\sqrt{\frac{105}{2\pi }}\cdot e^{-2i\phi }\cdot {\sin }^2\theta \cdot \cos \theta & & =& & \frac{1}{4}\sqrt{\frac{105}{2\pi }}\cdot \frac{(x-iy{)}^2\cdot z}{r^3}& \\ Y_3^{-1}(\theta ,\phi )& =& & \frac{1}{8}\sqrt{\frac{21}{\pi }}\cdot e^{-i\phi }\cdot \sin \theta \cdot (5{\cos }^2\theta -1)& & =& & \frac{1}{8}\sqrt{\frac{21}{\pi }}\cdot \frac{(x-iy)\cdot (5z^2-r^2)}{r^3}& \\ Y_3^0(\theta ,\phi )& =& & \frac{1}{4}\sqrt{\frac{7}{\pi }}\cdot (5{\cos }^3\theta -3\cos \theta )& & =& & \frac{1}{4}\sqrt{\frac{7}{\pi }}\cdot \frac{(5z^3-3z{r}^2)}{r^3}& \\ Y_3^1(\theta ,\phi )& =& -& \frac{1}{8}\sqrt{\frac{21}{\pi }}\cdot e^{i\phi }\cdot \sin \theta \cdot (5{\cos }^2\theta -1)& & =& & \frac{-1}{8}\sqrt{\frac{21}{\pi }}\cdot \frac{(x+iy)\cdot (5z^2-r^2)}{r^3}& \\ Y_3^2(\theta ,\phi )& =& & \frac{1}{4}\sqrt{\frac{105}{2\pi }}\cdot e^{2i\phi }\cdot {\sin }^2\theta \cdot \cos \theta & & =& & \frac{1}{4}\sqrt{\frac{105}{2\pi }}\cdot \frac{(x+iy{)}^2\cdot z}{r^3}& \\ Y_3^3(\theta ,\phi )& =& -& \frac{1}{8}\sqrt{\frac{35}{\pi }}\cdot e^{3i\phi }\cdot {\sin }^3\theta & & =& & \frac{-1}{8}\sqrt{\frac{35}{\pi }}\cdot \frac{(x+iy{)}^3}{r^3}& \end{array}$$

ℓ = 4

$$\begin{array}{cc}{Y}_4^{-4}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{16}\sqrt{\frac{35}{2\pi }}\cdot e^{-4i\phi }\cdot {\sin }^4\theta =\frac{3}{16}\sqrt{\frac{35}{2\pi }}\cdot \frac{(x-iy{)}^4}{r^4}\\ Y_4^{-3}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{8}\sqrt{\frac{35}{\pi }}\cdot e^{-3i\phi }\cdot {\sin }^3\theta \cdot \cos \theta =\frac{3}{8}\sqrt{\frac{35}{\pi }}\cdot \frac{(x-iy{)}^{3}z}{r^4}\\ Y_4^{-2}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{8}\sqrt{\frac{5}{2\pi }}\cdot e^{-2i\phi }\cdot {\sin }^2\theta \cdot (7{\cos }^2\theta -1)=\frac{3}{8}\sqrt{\frac{5}{2\pi }}\cdot \frac{(x-iy{)}^2\cdot (7z^2-r^2)}{r^4}\\ Y_4^{-1}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{8}\sqrt{\frac{5}{\pi }}\cdot e^{-i\phi }\cdot \sin \theta \cdot (7{\cos }^3\theta -3\cos \theta )=\frac{3}{8}\sqrt{\frac{5}{\pi }}\cdot \frac{(x-iy)\cdot (7z^3-3z{r}^2)}{r^4}\\ Y_4^0(\theta ,\phi )& =\frac{3}{16}\sqrt{\frac{1}{\pi }}\cdot (35{\cos }^4\theta -30{\cos }^2\theta +3)=\frac{3}{16}\sqrt{\frac{1}{\pi }}\cdot \frac{(35z^4-30z^2{r}^2+3r^4)}{r^4}\\ Y_4^1(\theta ,\phi )& =\frac{-3}{8}\sqrt{\frac{5}{\pi }}\cdot e^{i\phi }\cdot \sin \theta \cdot (7{\cos }^3\theta -3\cos \theta )=\frac{-3}{8}\sqrt{\frac{5}{\pi }}\cdot \frac{(x+iy)\cdot (7z^3-3z{r}^2)}{r^4}\\ Y_4^2(\theta ,\phi )& =\frac{3}{8}\sqrt{\frac{5}{2\pi }}\cdot e^{2i\phi }\cdot {\sin }^2\theta \cdot (7{\cos }^2\theta -1)=\frac{3}{8}\sqrt{\frac{5}{2\pi }}\cdot \frac{(x+iy{)}^2\cdot (7z^2-r^2)}{r^4}\\ Y_4^3(\theta ,\phi )& =\frac{-3}{8}\sqrt{\frac{35}{\pi }}\cdot e^{3i\phi }\cdot {\sin }^3\theta \cdot \cos \theta =\frac{-3}{8}\sqrt{\frac{35}{\pi }}\cdot \frac{(x+iy{)}^{3}z}{r^4}\\ Y_4^4(\theta ,\phi )& =\frac{3}{16}\sqrt{\frac{35}{2\pi }}\cdot e^{4i\phi }\cdot {\sin }^4\theta =\frac{3}{16}\sqrt{\frac{35}{2\pi }}\cdot \frac{(x+iy{)}^4}{r^4}\end{array}$$

ℓ = 5

$$\begin{array}{cc}{Y}_5^{-5}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{32}\sqrt{\frac{77}{\pi }}\cdot e^{-5i\phi }\cdot {\sin }^5\theta \\ Y_5^{-4}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{16}\sqrt{\frac{385}{2\pi }}\cdot e^{-4i\phi }\cdot {\sin }^4\theta \cdot \cos \theta \\ Y_5^{-3}(\theta ,\phi )& =\frac{1}{32}\sqrt{\frac{385}{\pi }}\cdot e^{-3i\phi }\cdot {\sin }^3\theta \cdot (9{\cos }^2\theta -1)\\ Y_5^{-2}(\theta ,\phi )& =\frac{1}{8}\sqrt{\frac{1155}{2\pi }}\cdot e^{-2i\phi }\cdot {\sin }^2\theta \cdot (3{\cos }^3\theta -\cos \theta )\\ Y_5^{-1}(\theta ,\phi )& =\frac{1}{16}\sqrt{\frac{165}{2\pi }}\cdot e^{-i\phi }\cdot \sin \theta \cdot (21{\cos }^4\theta -14{\cos }^2\theta +1)\\ Y_5^0(\theta ,\phi )& =\frac{1}{16}\sqrt{\frac{11}{\pi }}\cdot (63{\cos }^5\theta -70{\cos }^3\theta +15\cos \theta )\\ Y_5^1(\theta ,\phi )& =\frac{-1}{16}\sqrt{\frac{165}{2\pi }}\cdot e^{i\phi }\cdot \sin \theta \cdot (21{\cos }^4\theta -14{\cos }^2\theta +1)\\ Y_5^2(\theta ,\phi )& =\frac{1}{8}\sqrt{\frac{1155}{2\pi }}\cdot e^{2i\phi }\cdot {\sin }^2\theta \cdot (3{\cos }^3\theta -\cos \theta )\\ Y_5^3(\theta ,\phi )& =\frac{-1}{32}\sqrt{\frac{385}{\pi }}\cdot e^{3i\phi }\cdot {\sin }^3\theta \cdot (9{\cos }^2\theta -1)\\ Y_5^4(\theta ,\phi )& =\frac{3}{16}\sqrt{\frac{385}{2\pi }}\cdot e^{4i\phi }\cdot {\sin }^4\theta \cdot \cos \theta \\ Y_5^5(\theta ,\phi )& =\frac{-3}{32}\sqrt{\frac{77}{\pi }}\cdot e^{5i\phi }\cdot {\sin }^5\theta \end{array}$$

ℓ = 6

$$\begin{array}{cc}{Y}_6^{-6}(\theta ,\phi )& =\frac{1}{64}\sqrt{\frac{3003}{\pi }}\cdot e^{-6i\phi }\cdot {\sin }^6\theta \\ Y_6^{-5}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{32}\sqrt{\frac{1001}{\pi }}\cdot e^{-5i\phi }\cdot {\sin }^5\theta \cdot \cos \theta \\ Y_6^{-4}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{32}\sqrt{\frac{91}{2\pi }}\cdot e^{-4i\phi }\cdot {\sin }^4\theta \cdot (11{\cos }^2\theta -1)\\ Y_6^{-3}(\theta ,\phi )& =\frac{1}{32}\sqrt{\frac{1365}{\pi }}\cdot e^{-3i\phi }\cdot {\sin }^3\theta \cdot (11{\cos }^3\theta -3\cos \theta )\\ Y_6^{-2}(\theta ,\phi )& =\frac{1}{64}\sqrt{\frac{1365}{\pi }}\cdot e^{-2i\phi }\cdot {\sin }^2\theta \cdot (33{\cos }^4\theta -18{\cos }^2\theta +1)\\ Y_6^{-1}(\theta ,\phi )& =\frac{1}{16}\sqrt{\frac{273}{2\pi }}\cdot e^{-i\phi }\cdot \sin \theta \cdot (33{\cos }^5\theta -30{\cos }^3\theta +5\cos \theta )\\ Y_6^0(\theta ,\phi )& =\frac{1}{32}\sqrt{\frac{13}{\pi }}\cdot (231{\cos }^6\theta -315{\cos }^4\theta +105{\cos }^2\theta -5)\\ Y_6^1(\theta ,\phi )& =-\frac{1}{16}\sqrt{\frac{273}{2\pi }}\cdot e^{i\phi }\cdot \sin \theta \cdot (33{\cos }^5\theta -30{\cos }^3\theta +5\cos \theta )\\ Y_6^2(\theta ,\phi )& =\frac{1}{64}\sqrt{\frac{1365}{\pi }}\cdot e^{2i\phi }\cdot {\sin }^2\theta \cdot (33{\cos }^4\theta -18{\cos }^2\theta +1)\\ Y_6^3(\theta ,\phi )& =-\frac{1}{32}\sqrt{\frac{1365}{\pi }}\cdot e^{3i\phi }\cdot {\sin }^3\theta \cdot (11{\cos }^3\theta -3\cos \theta )\\ Y_6^4(\theta ,\phi )& =\frac{3}{32}\sqrt{\frac{91}{2\pi }}\cdot e^{4i\phi }\cdot {\sin }^4\theta \cdot (11{\cos }^2\theta -1)\\ Y_6^5(\theta ,\phi )& =-\frac{3}{32}\sqrt{\frac{1001}{\pi }}\cdot e^{5i\phi }\cdot {\sin }^5\theta \cdot \cos \theta \\ Y_6^6(\theta ,\phi )& =\frac{1}{64}\sqrt{\frac{3003}{\pi }}\cdot e^{6i\phi }\cdot {\sin }^6\theta \end{array}$$

ℓ = 7

$$\begin{array}{cc}{Y}_7^{-7}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{64}\sqrt{\frac{715}{2\pi }}\cdot e^{-7i\phi }\cdot {\sin }^7\theta \\ Y_7^{-6}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{64}\sqrt{\frac{5005}{\pi }}\cdot e^{-6i\phi }\cdot {\sin }^6\theta \cdot \cos \theta \\ Y_7^{-5}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{64}\sqrt{\frac{385}{2\pi }}\cdot e^{-5i\phi }\cdot {\sin }^5\theta \cdot (13{\cos }^2\theta -1)\\ Y_7^{-4}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{32}\sqrt{\frac{385}{2\pi }}\cdot e^{-4i\phi }\cdot {\sin }^4\theta \cdot (13{\cos }^3\theta -3\cos \theta )\\ Y_7^{-3}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{64}\sqrt{\frac{35}{2\pi }}\cdot e^{-3i\phi }\cdot {\sin }^3\theta \cdot (143{\cos }^4\theta -66{\cos }^2\theta +3)\\ Y_7^{-2}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{64}\sqrt{\frac{35}{\pi }}\cdot e^{-2i\phi }\cdot {\sin }^2\theta \cdot (143{\cos }^5\theta -110{\cos }^3\theta +15\cos \theta )\\ Y_7^{-1}(\theta ,\phi )& =\frac{1}{64}\sqrt{\frac{105}{2\pi }}\cdot e^{-i\phi }\cdot \sin \theta \cdot (429{\cos }^6\theta -495{\cos }^4\theta +135{\cos }^2\theta -5)\\ Y_7^0(\theta ,\phi )& =\frac{1}{32}\sqrt{\frac{15}{\pi }}\cdot (429{\cos }^7\theta -693{\cos }^5\theta +315{\cos }^3\theta -35\cos \theta )\\ Y_7^1(\theta ,\phi )& =-\frac{1}{64}\sqrt{\frac{105}{2\pi }}\cdot e^{i\phi }\cdot \sin \theta \cdot (429{\cos }^6\theta -495{\cos }^4\theta +135{\cos }^2\theta -5)\\ Y_7^2(\theta ,\phi )& =\frac{3}{64}\sqrt{\frac{35}{\pi }}\cdot e^{2i\phi }\cdot {\sin }^2\theta \cdot (143{\cos }^5\theta -110{\cos }^3\theta +15\cos \theta )\\ Y_7^3(\theta ,\phi )& =-\frac{3}{64}\sqrt{\frac{35}{2\pi }}\cdot e^{3i\phi }\cdot {\sin }^3\theta \cdot (143{\cos }^4\theta -66{\cos }^2\theta +3)\\ Y_7^4(\theta ,\phi )& =\frac{3}{32}\sqrt{\frac{385}{2\pi }}\cdot e^{4i\phi }\cdot {\sin }^4\theta \cdot (13{\cos }^3\theta -3\cos \theta )\\ Y_7^5(\theta ,\phi )& =-\frac{3}{64}\sqrt{\frac{385}{2\pi }}\cdot e^{5i\phi }\cdot {\sin }^5\theta \cdot (13{\cos }^2\theta -1)\\ Y_7^6(\theta ,\phi )& =\frac{3}{64}\sqrt{\frac{5005}{\pi }}\cdot e^{6i\phi }\cdot {\sin }^6\theta \cdot \cos \theta \\ Y_7^7(\theta ,\phi )& =-\frac{3}{64}\sqrt{\frac{715}{2\pi }}\cdot e^{7i\phi }\cdot {\sin }^7\theta \end{array}$$

ℓ = 8

$$\begin{array}{cc}{Y}_8^{-8}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{256}\sqrt{\frac{12155}{2\pi }}\cdot e^{-8i\phi }\cdot {\sin }^8\theta \\ Y_8^{-7}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{64}\sqrt{\frac{12155}{2\pi }}\cdot e^{-7i\phi }\cdot {\sin }^7\theta \cdot \cos \theta \\ Y_8^{-6}(\theta ,\phi )& =\frac{1}{128}\sqrt{\frac{7293}{\pi }}\cdot e^{-6i\phi }\cdot {\sin }^6\theta \cdot (15{\cos }^2\theta -1)\\ Y_8^{-5}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{64}\sqrt{\frac{17017}{2\pi }}\cdot e^{-5i\phi }\cdot {\sin }^5\theta \cdot (5{\cos }^3\theta -\cos \theta )\\ Y_8^{-4}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{128}\sqrt{\frac{1309}{2\pi }}\cdot e^{-4i\phi }\cdot {\sin }^4\theta \cdot (65{\cos }^4\theta -26{\cos }^2\theta +1)\\ Y_8^{-3}(\theta ,\phi )& =\frac{1}{64}\sqrt{\frac{19635}{2\pi }}\cdot e^{-3i\phi }\cdot {\sin }^3\theta \cdot (39{\cos }^5\theta -26{\cos }^3\theta +3\cos \theta )\\ Y_8^{-2}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{128}\sqrt{\frac{595}{\pi }}\cdot e^{-2i\phi }\cdot {\sin }^2\theta \cdot (143{\cos }^6\theta -143{\cos }^4\theta +33{\cos }^2\theta -1)\\ Y_8^{-1}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{64}\sqrt{\frac{17}{2\pi }}\cdot e^{-i\phi }\cdot \sin \theta \cdot (715{\cos }^7\theta -1001{\cos }^5\theta +385{\cos }^3\theta -35\cos \theta )\\ Y_8^0(\theta ,\phi )& =\frac{1}{256}\sqrt{\frac{17}{\pi }}\cdot (6435{\cos }^8\theta -12012{\cos }^6\theta +6930{\cos }^4\theta -1260{\cos }^2\theta +35)\\ Y_8^1(\theta ,\phi )& =\frac{-3}{64}\sqrt{\frac{17}{2\pi }}\cdot e^{i\phi }\cdot \sin \theta \cdot (715{\cos }^7\theta -1001{\cos }^5\theta +385{\cos }^3\theta -35\cos \theta )\\ Y_8^2(\theta ,\phi )& =\frac{3}{128}\sqrt{\frac{595}{\pi }}\cdot e^{2i\phi }\cdot {\sin }^2\theta \cdot (143{\cos }^6\theta -143{\cos }^4\theta +33{\cos }^2\theta -1)\\ Y_8^3(\theta ,\phi )& =\frac{-1}{64}\sqrt{\frac{19635}{2\pi }}\cdot e^{3i\phi }\cdot {\sin }^3\theta \cdot (39{\cos }^5\theta -26{\cos }^3\theta +3\cos \theta )\\ Y_8^4(\theta ,\phi )& =\frac{3}{128}\sqrt{\frac{1309}{2\pi }}\cdot e^{4i\phi }\cdot {\sin }^4\theta \cdot (65{\cos }^4\theta -26{\cos }^2\theta +1)\\ Y_8^5(\theta ,\phi )& =\frac{-3}{64}\sqrt{\frac{17017}{2\pi }}\cdot e^{5i\phi }\cdot {\sin }^5\theta \cdot (5{\cos }^3\theta -\cos \theta )\\ Y_8^6(\theta ,\phi )& =\frac{1}{128}\sqrt{\frac{7293}{\pi }}\cdot e^{6i\phi }\cdot {\sin }^6\theta \cdot (15{\cos }^2\theta -1)\\ Y_8^7(\theta ,\phi )& =\frac{-3}{64}\sqrt{\frac{12155}{2\pi }}\cdot e^{7i\phi }\cdot {\sin }^7\theta \cdot \cos \theta \\ Y_8^8(\theta ,\phi )& =\frac{3}{256}\sqrt{\frac{12155}{2\pi }}\cdot e^{8i\phi }\cdot {\sin }^8\theta \end{array}$$

ℓ = 9

$$\begin{array}{cc}{Y}_9^{-9}(\theta ,\phi )& =\frac{1}{512}\sqrt{\frac{230945}{\pi }}\cdot e^{-9i\phi }\cdot {\sin }^9\theta \\ Y_9^{-8}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{256}\sqrt{\frac{230945}{2\pi }}\cdot e^{-8i\phi }\cdot {\sin }^8\theta \cdot \cos \theta \\ Y_9^{-7}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{512}\sqrt{\frac{13585}{\pi }}\cdot e^{-7i\phi }\cdot {\sin }^7\theta \cdot (17{\cos }^2\theta -1)\\ Y_9^{-6}(\theta ,\phi )& =\frac{1}{128}\sqrt{\frac{40755}{\pi }}\cdot e^{-6i\phi }\cdot {\sin }^6\theta \cdot (17{\cos }^3\theta -3\cos \theta )\\ Y_9^{-5}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{256}\sqrt{\frac{2717}{\pi }}\cdot e^{-5i\phi }\cdot {\sin }^5\theta \cdot (85{\cos }^4\theta -30{\cos }^2\theta +1)\\ Y_9^{-4}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{128}\sqrt{\frac{95095}{2\pi }}\cdot e^{-4i\phi }\cdot {\sin }^4\theta \cdot (17{\cos }^5\theta -10{\cos }^3\theta +\cos \theta )\\ Y_9^{-3}(\theta ,\phi )& =\frac{1}{256}\sqrt{\frac{21945}{\pi }}\cdot e^{-3i\phi }\cdot {\sin }^3\theta \cdot (221{\cos }^6\theta -195{\cos }^4\theta +39{\cos }^2\theta -1)\\ Y_9^{-2}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{128}\sqrt{\frac{1045}{\pi }}\cdot e^{-2i\phi }\cdot {\sin }^2\theta \cdot (221{\cos }^7\theta -273{\cos }^5\theta +91{\cos }^3\theta -7\cos \theta )\\ Y_9^{-1}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{256}\sqrt{\frac{95}{2\pi }}\cdot e^{-i\phi }\cdot \sin \theta \cdot (2431{\cos }^8\theta -4004{\cos }^6\theta +2002{\cos }^4\theta -308{\cos }^2\theta +7)\\ Y_9^0(\theta ,\phi )& =\frac{1}{256}\sqrt{\frac{19}{\pi }}\cdot (12155{\cos }^9\theta -25740{\cos }^7\theta +18018{\cos }^5\theta -4620{\cos }^3\theta +315\cos \theta )\\ Y_9^1(\theta ,\phi )& =\frac{-3}{256}\sqrt{\frac{95}{2\pi }}\cdot e^{i\phi }\cdot \sin \theta \cdot (2431{\cos }^8\theta -4004{\cos }^6\theta +2002{\cos }^4\theta -308{\cos }^2\theta +7)\\ Y_9^2(\theta ,\phi )& =\frac{3}{128}\sqrt{\frac{1045}{\pi }}\cdot e^{2i\phi }\cdot {\sin }^2\theta \cdot (221{\cos }^7\theta -273{\cos }^5\theta +91{\cos }^3\theta -7\cos \theta )\\ Y_9^3(\theta ,\phi )& =\frac{-1}{256}\sqrt{\frac{21945}{\pi }}\cdot e^{3i\phi }\cdot {\sin }^3\theta \cdot (221{\cos }^6\theta -195{\cos }^4\theta +39{\cos }^2\theta -1)\\ Y_9^4(\theta ,\phi )& =\frac{3}{128}\sqrt{\frac{95095}{2\pi }}\cdot e^{4i\phi }\cdot {\sin }^4\theta \cdot (17{\cos }^5\theta -10{\cos }^3\theta +\cos \theta )\\ Y_9^5(\theta ,\phi )& =\frac{-3}{256}\sqrt{\frac{2717}{\pi }}\cdot e^{5i\phi }\cdot {\sin }^5\theta \cdot (85{\cos }^4\theta -30{\cos }^2\theta +1)\\ Y_9^6(\theta ,\phi )& =\frac{1}{128}\sqrt{\frac{40755}{\pi }}\cdot e^{6i\phi }\cdot {\sin }^6\theta \cdot (17{\cos }^3\theta -3\cos \theta )\\ Y_9^7(\theta ,\phi )& =\frac{-3}{512}\sqrt{\frac{13585}{\pi }}\cdot e^{7i\phi }\cdot {\sin }^7\theta \cdot (17{\cos }^2\theta -1)\\ Y_9^8(\theta ,\phi )& =\frac{3}{256}\sqrt{\frac{230945}{2\pi }}\cdot e^{8i\phi }\cdot {\sin }^8\theta \cdot \cos \theta \\ Y_9^9(\theta ,\phi )& =\frac{-1}{512}\sqrt{\frac{230945}{\pi }}\cdot e^{9i\phi }\cdot {\sin }^9\theta \end{array}$$

ℓ = 10

$$\begin{array}{cc}{Y}_{10}^{-10}(\theta ,\phi )& =\frac{1}{1024}\sqrt{\frac{969969}{\pi }}\cdot e^{-10i\phi }\cdot {\sin }^{10}\theta \\ Y_{10}^{-9}(\theta ,\phi )& =\frac{1}{512}\sqrt{\frac{4849845}{\pi }}\cdot e^{-9i\phi }\cdot {\sin }^9\theta \cdot \cos \theta \\ Y_{10}^{-8}(\theta ,\phi )& =\frac{1}{512}\sqrt{\frac{255255}{2\pi }}\cdot e^{-8i\phi }\cdot {\sin }^8\theta \cdot (19{\cos }^2\theta -1)\\ Y_{10}^{-7}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{512}\sqrt{\frac{85085}{\pi }}\cdot e^{-7i\phi }\cdot {\sin }^7\theta \cdot (19{\cos }^3\theta -3\cos \theta )\\ Y_{10}^{-6}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{1024}\sqrt{\frac{5005}{\pi }}\cdot e^{-6i\phi }\cdot {\sin }^6\theta \cdot (323{\cos }^4\theta -102{\cos }^2\theta +3)\\ Y_{10}^{-5}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{256}\sqrt{\frac{1001}{\pi }}\cdot e^{-5i\phi }\cdot {\sin }^5\theta \cdot (323{\cos }^5\theta -170{\cos }^3\theta +15\cos \theta )\\ Y_{10}^{-4}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{256}\sqrt{\frac{5005}{2\pi }}\cdot e^{-4i\phi }\cdot {\sin }^4\theta \cdot (323{\cos }^6\theta -255{\cos }^4\theta +45{\cos }^2\theta -1)\\ Y_{10}^{-3}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{256}\sqrt{\frac{5005}{\pi }}\cdot e^{-3i\phi }\cdot {\sin }^3\theta \cdot (323{\cos }^7\theta -357{\cos }^5\theta +105{\cos }^3\theta -7\cos \theta )\\ Y_{10}^{-2}(\theta ,\phi )& =\frac{3}{512}\sqrt{\frac{385}{2\pi }}\cdot e^{-2i\phi }\cdot {\sin }^2\theta \cdot (4199{\cos }^8\theta -6188{\cos }^6\theta +2730{\cos }^4\theta -364{\cos }^2\theta +7)\\ Y_{10}^{-1}(\theta ,\phi )& =\frac{1}{256}\sqrt{\frac{1155}{2\pi }}\cdot e^{-i\phi }\cdot \sin \theta \cdot (4199{\cos }^9\theta -7956{\cos }^7\theta +4914{\cos }^5\theta -1092{\cos }^3\theta +63\cos \theta )\\ Y_{10}^0(\theta ,\phi )& =\frac{1}{512}\sqrt{\frac{21}{\pi }}\cdot (46189{\cos }^{10}\theta -109395{\cos }^8\theta +90090{\cos }^6\theta -30030{\cos }^4\theta +3465{\cos }^2\theta -63)\\ Y_{10}^1(\theta ,\phi )& =\frac{-1}{256}\sqrt{\frac{1155}{2\pi }}\cdot e^{i\phi }\cdot \sin \theta \cdot (4199{\cos }^9\theta -7956{\cos }^7\theta +4914{\cos }^5\theta -1092{\cos }^3\theta +63\cos \theta )\\ Y_{10}^2(\theta ,\phi )& =\frac{3}{512}\sqrt{\frac{385}{2\pi }}\cdot e^{2i\phi }\cdot {\sin }^2\theta \cdot (4199{\cos }^8\theta -6188{\cos }^6\theta +2730{\cos }^4\theta -364{\cos }^2\theta +7)\\ Y_{10}^3(\theta ,\phi )& =\frac{-3}{256}\sqrt{\frac{5005}{\pi }}\cdot e^{3i\phi }\cdot {\sin }^3\theta \cdot (323{\cos }^7\theta -357{\cos }^5\theta +105{\cos }^3\theta -7\cos \theta )\\ Y_{10}^4(\theta ,\phi )& =\frac{3}{256}\sqrt{\frac{5005}{2\pi }}\cdot e^{4i\phi }\cdot {\sin }^4\theta \cdot (323{\cos }^6\theta -255{\cos }^4\theta +45{\cos }^2\theta -1)\\ Y_{10}^5(\theta ,\phi )& =\frac{-3}{256}\sqrt{\frac{1001}{\pi }}\cdot e^{5i\phi }\cdot {\sin }^5\theta \cdot (323{\cos }^5\theta -170{\cos }^3\theta +15\cos \theta )\\ Y_{10}^6(\theta ,\phi )& =\frac{3}{1024}\sqrt{\frac{5005}{\pi }}\cdot e^{6i\phi }\cdot {\sin }^6\theta \cdot (323{\cos }^4\theta -102{\cos }^2\theta +3)\\ Y_{10}^7(\theta ,\phi )& =\frac{-3}{512}\sqrt{\frac{85085}{\pi }}\cdot e^{7i\phi }\cdot {\sin }^7\theta \cdot (19{\cos }^3\theta -3\cos \theta )\\ Y_{10}^8(\theta ,\phi )& =\frac{1}{512}\sqrt{\frac{255255}{2\pi }}\cdot e^{8i\phi }\cdot {\sin }^8\theta \cdot (19{\cos }^2\theta -1)\\ Y_{10}^9(\theta ,\phi )& =\frac{-1}{512}\sqrt{\frac{4849845}{\pi }}\cdot e^{9i\phi }\cdot {\sin }^9\theta \cdot \cos \theta \\ Y_{10}^{10}(\theta ,\phi )& =\frac{1}{1024}\sqrt{\frac{969969}{\pi }}\cdot e^{10i\phi }\cdot {\sin }^{10}\theta \end{array}$$

Візуалізація комплекснозначних сферичних гармонік

2D карти полярних/азимутальних кутів

Нижче комплекснозначні сферичні гармоніки представлені на 2D графіках з азимутальним кутом, $\phi$, по горизонтальній осі та полярним кутом, $\theta$, відкладеним по вертикальній осі. Насиченість кольору в будь-якій точці відповідає амплітуді сферичної гармоніки, а сам колір представляє собою фазу.

Набір зображень комплекснозначних сферичних гармонік, представлених у вигляді двовимірних карт по $\theta ,\phi$

На сфері

Нижче комплексні сферичні гармоніки представлені у вигляді двовимірної карти на сфері. Величина сферичної гармоніки при певних полярних і азимутальних кутах представлена насиченістю кольору в цій точці, а фаза представлена кольором у цій точці.

Набір зображень комплексних сферичних гармонік на сфері

Графіки на сфері з амплітудою гармоніки як відстанню від центру сфери

Нижче на графіках амплітуді сферичної гармоніки під конкретним полярним і азимутальним кутами відповідає відстань від центру умовної сфери (радіус), а фазі гармоніки відповідає колір у цій точці.

Набір графіків комплексних сферичних гармонік, представлених на сфері із амплітудою, як радіусом точки

Дійсні сферичні гармоніки

Для кожної дійсної сферичної гармоніки також наведено відповідний атомний орбітальний символ (s, p, d, f).

Для ℓ = 0, …, 3 див. також

ℓ = 0

$$Y_{00}=s=Y_0^0=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{\pi }}$$

ℓ = 1

$$\begin{array}{cc}{Y}_{1,-1}& =p_y=i\sqrt{\frac{1}{2}}(Y_1^{-1}+Y_1^1)=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cdot \frac{y}{r}\\ Y_{1,0}& =p_z=Y_1^0=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cdot \frac{z}{r}\\ Y_{1,1}& =p_x=\sqrt{\frac{1}{2}}(Y_1^{-1}-Y_1^1)=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cdot \frac{x}{r}\end{array}$$

ℓ = 2

$$\begin{array}{cc}{Y}_{2,-2}& =d_{xy}=i\sqrt{\frac{1}{2}}(Y_2^{-2}-Y_2^2)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{\pi }}\cdot \frac{xy}{r^2}\\ Y_{2,-1}& =d_{yz}=i\sqrt{\frac{1}{2}}(Y_2^{-1}+Y_2^1)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{\pi }}\cdot \frac{y\cdot z}{r^2}\\ Y_{2,0}& =d_{z^2}=Y_2^0=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{5}{\pi }}\cdot \frac{3z^2-r^2}{r^2}\\ Y_{2,1}& =d_{xz}=\sqrt{\frac{1}{2}}(Y_2^{-1}-Y_2^1)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{\pi }}\cdot \frac{x\cdot z}{r^2}\\ Y_{2,2}& =d_{x^2-y^2}=\sqrt{\frac{1}{2}}(Y_2^{-2}+Y_2^2)=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{\pi }}\cdot \frac{x^2-y^2}{r^2}\end{array}$$

ℓ = 3

$$\begin{array}{cc}{Y}_{3,-3}& =f_{y(3x^2-y^2)}=i\sqrt{\frac{1}{2}}(Y_3^{-3}+Y_3^3)=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{35}{2\pi }}\cdot \frac{y(3x^2-y^2)}{r^3}\\ Y_{3,-2}& =f_{xyz}=i\sqrt{\frac{1}{2}}(Y_3^{-2}-Y_3^2)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{105}{\pi }}\cdot \frac{xy\cdot z}{r^3}\\ Y_{3,-1}& =f_{y{z}^2}=i\sqrt{\frac{1}{2}}(Y_3^{-1}+Y_3^1)=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{21}{2\pi }}\cdot \frac{y\cdot (5z^2-r^2)}{r^3}\\ Y_{3,0}& =f_{z^3}=Y_3^0=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{7}{\pi }}\cdot \frac{5z^3-3z{r}^2}{r^3}\\ Y_{3,1}& =f_{x{z}^2}=\sqrt{\frac{1}{2}}(Y_3^{-1}-Y_3^1)=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{21}{2\pi }}\cdot \frac{x\cdot (5z^2-r^2)}{r^3}\\ Y_{3,2}& =f_{z(x^2-y^2)}=\sqrt{\frac{1}{2}}(Y_3^{-2}+Y_3^2)=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{105}{\pi }}\cdot \frac{(x^2-y^2)\cdot z}{r^3}\\ Y_{3,3}& =f_{x(x^2-3y^2)}=\sqrt{\frac{1}{2}}(Y_3^{-3}-Y_3^3)=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{35}{2\pi }}\cdot \frac{x(x^2-3y^2)}{r^3}\end{array}$$

ℓ = 4

$$\begin{array}{cc}{Y}_{4,-4}& =i\sqrt{\frac{1}{2}}(Y_4^{-4}-Y_4^4)=\frac{3}{4}\sqrt{\frac{35}{\pi }}\cdot \frac{xy(x^2-y^2)}{r^4}\\ Y_{4,-3}& =i\sqrt{\frac{1}{2}}(Y_4^{-3}+Y_4^3)=\frac{3}{4}\sqrt{\frac{35}{2\pi }}\cdot \frac{y(3x^2-y^2)\cdot z}{r^4}\\ Y_{4,-2}& =i\sqrt{\frac{1}{2}}(Y_4^{-2}-Y_4^2)=\frac{3}{4}\sqrt{\frac{5}{\pi }}\cdot \frac{xy\cdot (7z^2-r^2)}{r^4}\\ Y_{4,-1}& =i\sqrt{\frac{1}{2}}(Y_4^{-1}+Y_4^1)=\frac{3}{4}\sqrt{\frac{5}{2\pi }}\cdot \frac{y\cdot (7z^3-3z{r}^2)}{r^4}\\ Y_{4,0}& =Y_4^0=\frac{3}{16}\sqrt{\frac{1}{\pi }}\cdot \frac{35z^4-30z^2{r}^2+3r^4}{r^4}\\ Y_{4,1}& =\sqrt{\frac{1}{2}}(Y_4^{-1}-Y_4^1)=\frac{3}{4}\sqrt{\frac{5}{2\pi }}\cdot \frac{x\cdot (7z^3-3z{r}^2)}{r^4}\\ Y_{4,2}& =\sqrt{\frac{1}{2}}(Y_4^{-2}+Y_4^2)=\frac{3}{8}\sqrt{\frac{5}{\pi }}\cdot \frac{(x^2-y^2)\cdot (7z^2-r^2)}{r^4}\\ Y_{4,3}& =\sqrt{\frac{1}{2}}(Y_4^{-3}-Y_4^3)=\frac{3}{4}\sqrt{\frac{35}{2\pi }}\cdot \frac{x(x^2-3y^2)\cdot z}{r^4}\\ Y_{4,4}& =\sqrt{\frac{1}{2}}(Y_4^{-4}+Y_4^4)=\frac{3}{16}\sqrt{\frac{35}{\pi }}\cdot \frac{x^2(x^2-3y^2)-y^2(3x^2-y^2)}{r^4}\\ \end{array}$$

Візуалізація дійсних сферичних гармонік

2D карти полярних/азимутальних кутів

Нижче дійснозначні сферичні гармоніки представлені на 2D графіках з азимутальним кутом, $\phi$, на горизонтальній осі та полярному куті, $\theta$, на вертикальній осі. Насиченість кольору в будь-якій точці відповідає значенню амплітуди сферичної гармоніки, а сам колір — фазі.

Набір зображень дійсних сферичних гармонік, представлених у вигляді двовимірних карт від кутових змінних

Графіки на сфері

Нижче дійсні сферичні гармоніки зображені на сфері. Амплітуді сферичної гармоніки при певних полярних і азимутальних кутах відповідає насиченість кольору в цій точці, а фаза — кольору у цій точці.

Набір графіків сферичних гармонік, зображений на двовимірній сфері

Графіки на сфері з амплітудою як радіусом

Нижче дійсні сферичні гармоніки зображені на сфері, причому амплітуді сферичної гармоніки під конкретним полярним і азимутальним кутами відповідає відстань від центру умовної сфери, а фаза зображена кольором у цій точці.

Набір графіків дійсних сферичних гармонік, представлених на сфері з амплітудою як радіусом

Графіки на сфері з амплітудою як висотою на поверхні сфери

Нижче дійсні сферичні гармоніки представлені на сфері, де амплітуді сферичної гармоніки (величині і знаку) під певним полярним і азимутальним кутом відповідає висота графіка в цій точці відносно поверхні сфери фіксованого радіуса (над або під поверхнею сфери в залежності від знаку амплітуди). Додатково амплітуді відповідає насиченість кольору в даній точці. Фаза зображена кольором.

Набір графіків дійсних сферичних гармонік, представлених на сфері з амплітудою, як висотою від поверхні сфери і насиченістю кольору

Див. також

• Сферичні гармоніки

Посилання

• Сферична гармоніка в MathWorld
• Тривимірне представлення сферичної гармоніки

Список літератури

Загальні довідники

• Дивіться розділ 3 в Шаблон:Cite journal «Базис Церніке до декартових перетворень». Сербський астрономічний журнал . 179 (179): 107—120. arXiv : 0809.2368 . Bibcode: 2009SerAJ.179..107M . doi : 10.2298/SAJ0979107M . (див. розділ 3.3)
• Для складних сферичних гармонік див. також SphericalHarmonicY[l, m,theta, phi ] у Wolfram Alpha, для конкретних значень l і m.