Спектр кільця

Спектр кільця — множина простих власних ідеалів $𝔭$ кільця R. Зазвичай на спектрі задається топологія Зариського. Іноді розглядають максимальний спектр $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{m}(R)$ — підпростір простору $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R)$, що складається із замкнутих точок.

Властивості

• Простір $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R)$ несе пучок локальних кілець $𝒪(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R))$ , званий структурним пучком. Для точки $𝔭\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R)$ шар пучка $𝒪(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R))$ над $𝔭$ — це локалізація $R_{𝔭}$ кільця R щодо $𝔭$.

• Будь-якому гомоморфізму кілець $\phi :A\to B$, що переводить одиницю в одиницю, відповідає неперервне відображення ${\phi }^{*}:𝔭\mapsto {\phi }^{-1}(𝔭)$ . Якщо N — нільрадикал кільця А, то природне відображення $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R/N)\mapsto \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R)$ є гомеоморфізмом топологічних просторів.

• Для ненільпотентного елементу $f\in R$ нехай $D(f)=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R)\setminus V(f)$, де $V(f)=\{𝔭\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R)|f\in 𝔭\}$. Тоді простори D(f) і $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R{)}_{(f)}$, де $(R{)}_{(f)}$ — локалізація R відносно f, є ізоморфними. Множини D(f) називаються головними відкритими множинами. Вони утворюють базис топологічного простору $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R)$ .
• Точка $𝔭\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R)$ замкнута тоді і тільки тоді, коли $𝔭$ — максимальний ідеал кільця R.

• Зіставляючи точці $𝔭$ її замикання $\overline{𝔭}$ в $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R)$, одержується взаємно однозначна відповідність між точками простору $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R)$ і множиною замкнутих незвідних підмножин в $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R)$.
• Простір $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R)$ є квазікомпактним, але, як правило, не є гаусдорфовим. Розмірністю простору $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R)$ називається найбільше n, для якого існує послідовність відмінних замкнутих незвідних множин $Z_0\subset \dots \subset Z_n\subseteq \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R)$.

• Багато властивостей кільця R можна охарактеризувати в термінах топологічного простору $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R)$. Наприклад кільце R нетерове тоді і тільки тоді, коли $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R)$ — нетеровий простір; простір $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R)$ є незвідним тоді і тільки тоді, коли кільце R/N є областю цілісності; розмірність $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R)$ збігається з розмірністю Круля кільця R і т.д.
• Для кожної підмножини $U\subset \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R)$ яка є одночасно відкритою і замкнутою у топології Зариського існує єдиний ідемпотент $e\in R$ для якого $U=D(e)$. Таким чином одержується бієкція між підмножинами $U\subset \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R),$ що є одночасно відкритими і замкнутими і ідемпотентами $e\in R$.
• Нехай $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R)=U⨿V$ де $U$ і $V$ є відкритими (і, відповідно, також замкнутими) підмножинами. Тоді $R\cong R_e\times R_{1-e}$ $e\in R$ для якого $U\cong \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R_e)$ і $V\cong \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R_{1-e}).$

Див. також

• Простий ідеал
• Схема (математика)
• Топологія Зариського

Література

• Шаблон:Атья.Макдональд.Введение в коммутативную алгебру
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
• Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — М.: Наука, 1972.