Символ Похгаммера

Символ Похгаммера — позначення для спеціальної функції, яка задається добутком

$(x{)}_n=\prod _{k=1}^n(x+k-1)=x(x+1)(x+2)\dots (x+n-1)$,

де $n$ — невід'ємне ціле число, який ще називають зростаючим факторіалом. Використовується, наприклад, при означені гіпергеометричної функції.

В комбінаториці, символом $(x{)}_n$ позначають спадний факторіал

$(x{)}_n=\prod _{k=1}^n(x-k+1)=x(x-1)(x-2)\dots (x-n+1)$,

а зростаючий факторіал — символом $x^{(n)}$.

Назва дана в честь німецького математика Лео Похгаммера (Leo August Pochhammer).

Якщо не обумовлено окремо, то надалі під символом $(x{)}_n$ розумітимемо зростаючий факторіал.

Приклади

Перші декілька значень для невід'ємних цілих $n$:

$(x{)}_0=1,$

$(x{)}_1=x,$

$(x{)}_2=x^2+x,$

$(x{)}_3=x^3+3x^2+2x,$

$(x{)}_4=x^4+6x^3+11x^2+6x,$

Часткові випадки:

$(1{)}_n=n!,{\left(\frac{1}{2}\right)}_n=\frac{(2n-1)!!}{2^n}.$

Властивості

Для символів Похгаммера виконується відношення:

$(-x{)}_n=(-1{)}^n\cdot (x-n+1{)}_n.$

Символ Похгаммера можна виразити через гамма-функцію

$(x{)}_n=\frac{\mathrm{\Gamma }(x+n)}{\mathrm{\Gamma }(x)}$

та через біноміальний коефіцієнт

$\frac{(x{)}_n}{n!}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{x+n-1}{n}).$

Символ Похгаммера пов'язаний з числами Стірлінга першого роду $s(n,k)$:

$(x{)}_n=\sum _{k=0}^n{(-1)}^{n-k}s(n,k)\cdot x^k,$

Співвідношення між символами Похгаммера для парного то непарного індексу:

$(x{)}_{2n}=2^{2n}{\left(\frac{x}{2}\right)}_n{\left(\frac{x+1}{2}\right)}_n,(x{)}_{2n+1}=2^{2n+1}{\left(\frac{x}{2}\right)}_{n+1}{\left(\frac{x+1}{2}\right)}_n.$

Відношення двох символів Похгаммера:

$\frac{(x{)}_n}{(x{)}_m}=\{\begin{array}{cc}(x+m{)}_{n-m},& n⩾m,\\ \\ \frac{1}{(x+n{)}_{m-n}},& n⩽m.\end{array}$

Похідна символу Похгаммера:

$\frac{d}{dx}(x{)}_n=(x{)}_n\cdot ({\psi }_0(n+x)-{\psi }_0(x)),$

де ${\psi }_0(x)$ — дигамма-функція.

Зростаючий та спадний факторіали

Тут будемо використовувати наступні позначення, прийняті в комбінаториці:

• Зростаючий факторіал

$x^{(n)}=x^{\bar{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1);$

• Спадний факторіал

$(x{)}_n=x^{\underset{\_}{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1).$

Спадний факторіал чисельно дорівнює кількості розміщень без повторень з $x$ по $n$ або (що те саме) кількості усіх ін'єктивних функцій з множини потужності $n$ в множину потужності $x$.

Зростаючий та спадний факторіали пов'язані співвідношеннями

$x^{(n)}={(x+n-1)}_n,x^{(n)}={(-1)}^n{(-x)}_n.$

Спадний факторіал також можна виразити через гамма-функцію

$(x{)}_n=\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x-n+1)}$

та через біноміальний коефіцієнт

$\frac{(x{)}_n}{n!}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{n}).$

За допомогою спадного факторіала можна компактно виразити похідну $n$-ого порядку від степеневої функції

$\frac{d^n}{d{x}^n}(x^a)=(a{)}_n{x}^{a-n}.$

Формула для добутку спадних факторіалів

$(x{)}_m(x{)}_n=\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})k!(x{)}_{m+n-k}.$

Твірна функція спадного факторіалу

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(x{)}_n\frac{t^n}{n!}=(1+t{)}^x.$

Узагальнення

Символ Похгаммера можна узагальнити так

$(x{)}_{n,k}=x(x+k)(x+2k)\cdots (x+(n-1)k)$

і називається k-символом Похгаммера.

Символ Похгамера можна також узагальнити на випадок довільної функції в такій формі:

$[f(x){]}^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).$

У такому записі звичайний символ Похгаммера записується як $[x{]}^{k/1}.$

Також у комбінаториці використовується q-аналог символу Похгаммера або q-символ Похгаммера (не плутати з k-символом):

$(x;q{)}_n=\prod _{k=0}^{n-1}(1-x{q}^k)=(1-x)(1-xq)(1-x{q}^2)\cdots (1-x{q}^{n-1}).$

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld