Рівняння Кеплера

Анімація, що ілюструє справжню аномалію, ексцентричну аномалію, середню аномалію і розв'язок рівняння Кеплера (у правому верхньому куті), ексцентриситет — 0,6.

Рівня́ння Ке́плера описує рух тіла по еліптичній орбіті в задачі двох тіл і має вигляд:

$E-e\sin E=M$

де $E$ — ексцентрична аномалія, $e$ — ексцентриситет орбіти, а $M$ — середня аномалія.

Вперше це рівняння отримав астроном Йоганн Кеплер у 1619 році. Відіграє значну роль у небесній механіці.

Варіанти рівняння Кеплера

Рівняння Кеплера в класичній формі описує рух лише по еліптичних орбітах, тобто при $0\le e<1$. Рух по гіперболічних орбітах $(e>1)$ підкоряється гіперболічному рівняння Кеплера, схожому за формою з класичним. Рух по прямій лінії $(e=-1)$ описує радіальне рівняння Кеплера. Нарешті, для опису руху по параболічній орбіті $(e=1)$ використовують рівняння Баркера. При $e<0$ орбіт не існує.

Завдання, що приводить до рівняння Кеплера

Розглянемо рух тіла по орбіті в полі іншого тіла. Знайдемо залежність положення тіла на орбіті від часу. З II закону Кеплера випливає, що

$r^2\frac{d\vartheta }{dt}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}=\sqrt{\mu a(1-e^2)}$.

Тут $r$ — відстань від тіла до гравітуючого центра, $\vartheta$ — істинна аномалія — кут між напрямками на перицентр орбіти й на тіло, $\mu =G{M}_0$ — добуток гравітаційної сталої на масу гравітуючого тіла, $a$ — велика піввісь орбіти. Звідси можна отримати залежність часу руху по орбіті від істинної аномалії:

$t-t_0=\frac{1}{\sqrt{\mu a(1-e^2)}}\underset{0}{\overset{\vartheta }{\int }}{r}^{2}d\vartheta$.

Тут $t_0$ — час проходження через перицентр.

Подальше розв'язування задачі залежить від типу орбіти, по якій рухається тіло.

Еліптична орбіта

Рівняння еліпса в полярних координатах має вигляд

$r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos \vartheta }$

Тоді рівняння часу набуває вигляду

$t-t_0=\frac{{\left(a(1-e^2)\right)}^{3/2}}{\sqrt{\mu }}\underset{0}{\overset{\vartheta }{\int }}\frac{d\vartheta }{(1+e\cos \vartheta {)}^2}$

Для того, щоб взяти інтеграл вводять таку підстановку:

$\mathrm{tg}\frac{\vartheta }{2}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\cdot \mathrm{tg}\frac{E}{2}$

Величина E називається ексцентричною аномалією. Завдяки такій підстановці інтеграл легко береться. Виходить таке рівняння:

$t-t_0=\sqrt{\frac{a^3}{\mu }}(E-e\sin E)$

Величина $\sqrt{\frac{\mu }{a^3}}$ є середньою кутовою швидкістю руху тіла по орбіті. В небесній механіці для цієї величини використовується термін середній рух. Добуток середнього руху на час називається середньою аномалією M. Ця величина являє собою кут, на який повернувся б радіус-вектор тіла, якби воно рухалося по коловій орбіті з радіусом, рівним великій півосі орбіти тіла.

Таким чином отримуємо рівняння Кеплера для еліптичного руху:

$E-e\sin E=M$

Гіперболічна орбіта

Рівняння гіперболи в полярних координатах має такий самий вигляд, як і рівняння еліпса. Отже, інтеграл виходить такий самий на вигляд. Однак, використовувати ексцентричну аномалію в цьому випадку не можна. Скористаємося параметричним поданням гіперболи: $x=-a\mathrm{c}\mathrm{h}H$, $y=a\sqrt{e^2-1}\mathrm{s}\mathrm{h}H$. Тоді рівняння гіперболи набуває вигляду

$r=a(e\mathrm{c}\mathrm{h}H-1)$,

а зв'язок між $\vartheta$ і $H$

$\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\vartheta }{2}=\sqrt{\frac{e+1}{e-1}}\mathrm{t}\mathrm{h}\frac{H}{2}$.

Завдяки такій підстановці інтеграл набуває такої ж форми, що й у випадку з еліптичною орбітою. Після проведення перетворень отримуємо гіперболічне рівняння Кеплера:

$M=e\mathrm{s}\mathrm{h}H-H$

Величину $H$ називають гіперболічною ексцентричною аномалією. Оскільки $\mathrm{s}\mathrm{h}H=-i\sin iH$, то останнє рівняння можна перетворити таким чином:

$M=-ei\sin iH-H=i(iH-e\sin iH)=i(E-e\sin E)$.

Звідси видно, що $E=iH$.

Параболічна орбіта

Рівняння параболи в полярних координатах має вигляд

$r=\frac{2r_{\pi }}{1+\cos \vartheta }$

де $r_{\pi }$ — відстань до перицентра. Другий закон Кеплера для випадку руху по параболічній траєкторії

$r^2\frac{d\vartheta }{dt}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}=\sqrt{2\mu r_{\pi }}$

Звідки одержуємо інтеграл, що визначає час руху

$t-t_0=2r_{\pi }\sqrt{\frac{2r_{\pi }}{\mu }}\underset{0}{\overset{\vartheta }{\int }}\frac{d\vartheta }{(1+\cos \vartheta {)}^2}$

Вводимо універсальну тригонометричну заміну

$z=\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\vartheta }{2},\vartheta =2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}z,d\vartheta =\frac{2dz}{1+z^2},\cos \vartheta =\frac{1-z^2}{1+z^2}$

і перетворюємо інтеграл

$t-t_0=4r_{\pi }\sqrt{\frac{2r_{\pi }}{\mu }}\underset{0}{\overset{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\vartheta }{2}}{\int }}\frac{\frac{dz}{1+z^2}}{{(1+\frac{1-z^2}{1+z^2})}^2}=r_{\pi }\sqrt{\frac{2r_{\pi }}{\mu }}\underset{0}{\overset{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\vartheta }{2}}{\int }}(1+z^2)dz=r_{\pi }\sqrt{\frac{2r_{\pi }}{\mu }}{(z+\frac{z^3}{3})|}_0^{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\vartheta }{2}}$

остаточно одержуємо

$t-t_0=r_{\pi }\sqrt{\frac{2r_{\pi }}{\mu }}(\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\vartheta }{2}+\frac{1}{3}\mathrm{t}{\mathrm{g}}^{\mathrm{3}}\frac{\vartheta }{2})$

Останнє співвідношення відоме в небесній механіці як рівняння Баркера.

Радіальна орбіта

Радіальною називається орбіта, що являє собою пряму лінію, яка проходить через притягальний центр. У цьому випадку вектор швидкості спрямований уздовж траєкторії і трансверсальна складова відсутняШаблон:Sfn, отже

$v=\frac{dr}{dt}$

Зв'язок між положенням тіла на орбіті і часом знайдемо з енергетичних міркувань

$\frac{m{v}^2}{2}-\frac{m\mu }{r}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$

$v^2=\frac{2\mu }{r}+h$

— інтеграл енергії. Звідси маємо диференціальне рівняння

$\frac{dr}{dt}=\pm \sqrt{\frac{2\mu }{r}+h}$

Розділяючи змінні в цьому рівнянні, приходимо до інтегралу

$\mp (t_1-t_0)=\underset{r_0}{\overset{r_1}{\int }}\frac{dr}{\sqrt{\frac{2\mu }{r}+h}}$

спосіб обчислення якого визначається знаком константи $h$. Виділяють три випадки

• $h<0$ — прямолінійно-еліптична орбіта

Відповідає випадку, коли повна механічна енергія тіла від'ємна, і, віддалившись на деяку найбільшу відстань, від притягального центра, воно почне рухатися у зворотному напрямі. Це аналогічно руху по еліптичній орбіті. Для обчислення інтеграла введемо заміну

$\frac{2\mu }{r}=\frac{-h}{{\sin }^{2}u},u_0=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\sqrt{\frac{-h{r}_0}{2\mu }},u_1=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\sqrt{\frac{-h{r}_1}{2\mu }},dr=\frac{4\mu }{-h}\sin u\cos udu$

обчислюємо інтеграл

$\mp (t_1-t_0)=\frac{4\mu }{-h\sqrt{-h}}\underset{u_0}{\overset{u_1}{\int }}{\sin }^{2}udu=\frac{2\mu }{-h\sqrt{-h}}\underset{u_0}{\overset{u_1}{\int }}(1-\cos 2u)du=\frac{\mu }{-h\sqrt{-h}}{(2u-\sin 2u)|}_{u_0}^{u_1}$

Вважаючи $E=2u$, запишемо результат

$\mp (t_1-t_0)=\frac{\mu }{-h\sqrt{-h}}(E_1-E_0-\sin E_1+\sin E_0)$

прийнявши за (недосяжний в реальності) умовний перицентр $r_0=0$, і напрямок початкової швидкості від притягального центра, отримаємо так зване радіальне рівняння Кеплера, що зв'язує відстань від притягального центра з часом руху

$t_1-t_0=\frac{\mu }{-h\sqrt{-h}}(E-\sin E)$

де $E=2\arcsin \sqrt{\frac{-hr}{2\mu }}$.

• $h=0$ — прямолінійно-параболічна орбіта

Занедбане радіально тіло піде на нескінченність від притягального центра, маючи на нескінченності швидкість, рівну нулю. Відповідає випадку руху з параболічною швидкістю. Найпростіший випадок, бо не вимагає заміни в інтегралі

$\mp (t_1-t_0)=\underset{r_0}{\overset{r_1}{\int }}\frac{dr}{\sqrt{\frac{2\mu }{r}}}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2}{\mu }}(r_1\sqrt{r_1}-r_0\sqrt{r_0})$

Беручи початкові умови першого випадку, отримуємо явний закон руху

$r(t)={\left[3\sqrt{\frac{\mu }{2}}(t_1-t_0)\right]}^{\frac{2}{3}}$

• $h>0$ — прямолінійно-гіперболічна орбіта

Відповідає віддаленню від притягального центра на нескінченність. На нескінченності тіло буде мати швидкість, $v_{\mathrm{\infty }}=\sqrt{h}$. Вводимо заміну

$\frac{2\mu }{r}=\frac{h}{{\mathrm{s}\mathrm{h}}^{2}u},u_0=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{h}\sqrt{\frac{h{r}_0}{2\mu }},u_1=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{h}\sqrt{\frac{h{r}_1}{2\mu }},dr=\frac{4\mu }{h}\mathrm{s}\mathrm{h}u\mathrm{c}\mathrm{h}udu$

і обчислюємо інтеграл

$\mp (t_1-t_0)=\frac{4\mu }{h\sqrt{h}}\underset{u_0}{\overset{u_1}{\int }}{\mathrm{s}\mathrm{h}}^{2}udu=\frac{2\mu }{h\sqrt{h}}\underset{u_0}{\overset{u_1}{\int }}(\mathrm{c}\mathrm{h}2u-1)du=\frac{\mu }{h\sqrt{h}}{(\mathrm{s}\mathrm{h}2u-2u)|}_{u_0}^{u_1}$

Вважаючи $H=2u$, отримуємо

$\mp (t_1-t_0)=\frac{\mu }{h\sqrt{h}}(\mathrm{s}\mathrm{h}{H}_1-\mathrm{s}\mathrm{h}{H}_0-H_1+H_0)$

Вважаючи початкові умови аналогічними першому випадку, маємо гіперболічне радіальне рівняння Кеплера

$t_1-t_0=\frac{\mu }{h\sqrt{h}}(\mathrm{s}\mathrm{h}H-H)$

де $H=2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{h}\sqrt{\frac{hr}{2\mu }}$

Розв'язок рівняння Кеплера

Розв'язок рівняння Кеплера в еліптичному і гіперболічному випадках існує і єдиний за будь-яких дійсних M. Для колової орбіти (e = 0) рівняння Кеплера набуває тривіального вигляду М = E. В загальному вигляді рівняння Кеплера трансцендентне. Воно не розв'язується в алгебраїчних функціях. Однак, його розв'язок можна знайти різними способами за допомогою збіжних рядів. Загальний розв'язок рівняння Кеплера можна записати за допомогою рядів Фур'є:

$E=M+2\cdot \sum _{n=1}^n\frac{1}{n}{J}_n\left(ne\right)\cdot \sin nM$,

де

$J_m\left(x\right)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos (mE-x\sin E)dE$

— функція Бесселя.

Цей ряд збігається, коли величина ε не перевищує значення границі Лапласа.

Наближені методи

Серед чисельних методів розв'язування рівняння Кеплера часто використовують метод нерухомої точки («метод простої ітерації») і метод Ньютона. Для еліптичного випадку в методі нерухомої точки за початкове значення E₀ можна взяти M, а послідовні наближення мають такий вигляд:

$E_{n+1}=e\sin E_n+M$

В гіперболічному випадку метод нерухомої точки подібним чином використовувати не можна, однак цей метод дає можливість вивести для такого випадку іншу формулу наближень (з гіперболічним арксинусом):

$H_{n+1}=\mathrm{Arsh}\frac{H_n+M}{e}$

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга