Границя Лапласа

Грани́ця Лапла́са — найбільше значення ексцентриситету, за якого розв'язок рівняння Кеплера, виражений у вигляді ряду за ексцентриситетом, збігається. Названо на честь французького математика П'єра Симона Лапласа. Приблизне значення границі Лапласа:

0,662 743 419 349 181 580 974 742 097 109 252 90.

Пояснення

Рівняння Кеплера $M=E-\epsilon \sin E$ пов'язує між собою середню аномалію Шаблон:Math з ексцентричною аномалією Шаблон:Math для тіла, що рухається по еліпсу з ексцентриситетом Шаблон:Math. Це рівняння не можна розв'язати для E через елементарні функції, але теорема Лагранжа про обернення рядів дає розв'язок у вигляді степеневого ряду від Шаблон:Math:

$E=M+\sin (M)\epsilon +\frac{1}{2}\sin (2M){\epsilon }^2+(\frac{3}{8}\sin (3M)-\frac{1}{8}\sin (M)){\epsilon }^3+\cdots$

Радіус збіжності цього степеневого ряду (таке число, що за менших значень ряд збігається, а за більших — розбігається) при значеннях константи Шаблон:Math, що не є цілочисельно кратними Шаблон:Math, не залежить від вибору Шаблон:Math і називається числом (границею) Лапласа.

Границя Лапласа є розв'язком рівняння

$\frac{x\exp (\sqrt{1+x^2})}{1+\sqrt{1+x^2}}=1.$

Див. також

• Ексцентриситет орбіти

Примітки

• Шаблон:Citation.