Теорема Лагранжа про обернення рядів

Шаблон:Otheruses Теорема Лагранжа про обернення рядів — теорема в математичному аналізі про побудову ряду Тейлора для оберненої функції до даної аналітичної функції.

Формулювання теореми

Нехай функцію z від змінної w задано рівнянням

$f(w)=z$

де f — аналітична в точці a та f '(a) ≠ 0. Тоді можна подати w у вигляді ряду

$w=a+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{g}_n\frac{(z-f(a){)}^n}{n!},$

де

$g_n=\underset{w\to a}{\lim }\left[\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}}{\mathrm{d}{w}^{n-1}}{\left(\frac{w-a}{f(w)-f(a)}\right)}^n\right].$

Теорема стверджує, що цей ряд має не нульовий радіус збіжності в околі $z=f(a)$.

Якщо опустити вимогу аналітичності, формулу можна узагальнити для формальних степеневих рядів.

Теорему довів Лагранж і узагальнив Гансом Бюрман у XVIII столітті.

Якщо f — формальний степеневий ряд, то формула не дає змоги виразити коефіцієнти ряду оберненої функції через коефіцієнти ряду початкової функції. Якщо функції f та g подано формальними степеневими рядами

$f(w)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_k\frac{w^k}{k!},g(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{g}_k\frac{z^k}{k!},$

а також f₀ = 0 та f₁ ≠ 0, то явну формулу для коефіцієнтів оберненого ряду можна подати через поліноми Белла:

$g_n=\frac{1}{f_1^n}\sum _{k=1}^{n-1}(-1{)}^k{n}^{(k)}{B}_{n-1,k}({\hat{f}}_1,{\hat{f}}_2,\dots ,{\hat{f}}_{n-k}),n\ge 2,$

де ${\hat{f}}_k=\frac{f_{k+1}}{(k+1)f_1},$    $g_1=\frac{1}{f_1},$   та  $n^{(k)}=n(n+1)\cdots (n+k-1),$  — зростаючий факторіал.

Приклад

Алгебричне рівняння степеня p

$x^p-x+z=0$

можна розв'язати з отриманням ряду

$x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{pk}{k})\frac{z^{(p-1)k+1}}{(p-1)k+1}.$

За ознаками збіжності отримаємо радіус збіжності |z| ≤ (p − 1)p^{−p/(p − 1)}.

Застосування

Ряд Лагранжа—Бюрмана

Ряд Бюрмана — Лагранжа визначається як розклад голоморфної функції $f(z)$ за степенями іншої голоморфної функції $w(z)$ і є узагальненням ряду Тейлора.

Нехай $f(z)$ і $w(z)$ голоморфні в околі деякої точки $a\in ℂ$, причому $w(a)=0$ і $a$ — простий нуль функції $w(z)$. Тепер виберемо деяку область $D\ni a$, у якій $f$ і $w$ голоморфні, а $w$ однолиста в $\bar{D}$. Тоді має місце розклад вигляду:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{d}_n{w}^n(z),$

де коефіцієнти $d_n$ обчислюються за таким виразом:

$d_n=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial D}{\int }\frac{f(\zeta )w^{\prime }(\zeta )}{w^{n+1}(\zeta )}d\zeta =\frac{1}{n!}\underset{z\to a}{\lim }\frac{d^{n-1}}{d{z}^{n-1}}\{f^{\prime }(z)\frac{(z-a{)}^n}{w^n(z)}\}.$

W-функція Ламберта

Шаблон:Main Функція $W(z)$ визначається рівнянням:

$W(z)e^{W(z)}=z.$

Застосуємо теорему для отримання ряду Тейлора для $W(z)$ в околі $z=0.$ Приймемо $f(w)=w{\mathrm{e}}^w$ та $a=0.$ Тоді

$\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}{\mathrm{e}}^{\alpha x}={\alpha }^n{\mathrm{e}}^{\alpha x}$

Отримаємо

$W(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{w\to 0}{\lim }\left(\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}}{\mathrm{d}{w}^{n-1}}{\mathrm{e}}^{-nw}\right)\frac{z^n}{n!}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-n{)}^{n-1}\frac{z^n}{n!}=z-z^2+\frac{3}{2}{z}^3-\frac{8}{3}{z}^4+O(z^5).$

Радіус збіжності ряду дорівнює $e^{-1}$ (для основної гілки функції).

Ряд може збігатись і для деяких більших z. Функція $f(z)=W(e^z)-1$ задовольняє рівняння

$1+f(z)+\ln (1+f(z))=z.$

Тоді $z+\ln (1+z)$ можна розкласти в ряд застосувавши теорему. Це дасть ряд для $f(z+1)=W(e^{z+1})-1$:

$W(e^{1+z})=1+\frac{z}{2}+\frac{z^2}{16}-\frac{z^3}{192}-\frac{z^4}{3072}+\frac{13z^5}{61440}-\frac{47z^6}{1474560}-\frac{73z^7}{41287680}+\frac{2447z^8}{1321205760}+O(z^9).$

$W(x)$ можна обчислити підстановкою $\ln x-1$ замість z.

Двійкові дерева

Розглянемо набір $ℬ$ нерозмічених двійкових дерев . Елемент $ℬ$ це або лист нульового розміру, або кореневий вузол з двома піддеревами. Позначимо через $B_n$ кількість двійкових дерев на 'вузлах.

Видалення кореня розбиває двійкове дерево на два дерева меншого розміру. З цього виходить функціональне рівняння на породжувальну функцію $B(z)={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_n{z}^n\text{:}$

$B(z)=1+zB(z{)}^2.$

Задаючи $C(z)=B(z)-1$, маємо $C(z)=z(C(z)+1{)}^2.$ Застосовуючи теорему з $\varphi (w)=(w+1{)}^2$ отримуємо

$B_n=[z^n]C(z)=\frac{1}{n}[w^{n-1}](w+1{)}^{2n}=\frac{1}{n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n-1})=\frac{1}{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}).$

Отже $B_n$ є Шаблон:Mvar-м числом Каталана.

Асимптотичне наближення інтегралів

У теоремі Лапласа-Ерделі, яка дає асимптотичне наближення для інтегралів лапласового типу, інверсія функції є важливим кроком.

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld