Рівностепенева неперервність

Рівностепенева неперервність — властивість сім'ї неперервних функцій, яка полягає в тому, що всі функції змінюються однаково в межах заданого околу.

Означення

Рівностепенева неперервність і рівномірна рівностепенева неперервність

Нехай

$ℱ=\{f_i(x):X\to ℝ,i\in I\},$

деяка сім'я неперервних функцій, де $X\subseteq ℝ$ — деяка підмножина дійсної осі, $I$ — множина індексів.

Множина функцій $ℱ$ — рівностепенево неперервна в точці $x_0\in X$, якщо

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta =\delta (\epsilon )>0\mathrm{\forall }x\in X|x-x_0|<\delta$

$\mathrm{\forall }{f}_i\in ℱ,|f_i(x)-f_i(x_0)|<\epsilon .$

Множина функцій $ℱ$ — рівностепенево неперервна, якщо вона рівностепенево неперервна в кожній точці з $X$. Іншими словами, для довільного $\epsilon >0$ знайдеться таке $\delta >0$, яке залежить від $\epsilon$ та $x_0$, що для довільних $x\in X$ таких, що $|x-x_0|<\delta$ випливає, що нерівність $|f_i(x)-f_i(x_0)|<\epsilon$ виконується одночасно для всіх функцій з $ℱ$.

Множина функцій $ℱ$ — рівномірно рівностепенево неперервна, якщо

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta =\delta (\epsilon )>0\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in X|x_1-x_2|<\delta$

$\mathrm{\forall }{f}_i\in ℱ,|f_i(x_1)-f_i(x_2)|<\epsilon .$

Іншими словами, для довільного $\epsilon >0$ знайдеться таке $\delta >0$, яке залежить тільки від $\epsilon$, що для довільних $x_1,x_2\in X$ таких, що $|x_1-x_2|<\delta$ випливає, що нерівність $|f_i(x_1)-f_i(x_2)|<\epsilon$ виконується одночасно для всіх функцій з $ℱ$.

Різниця між рівностепеневою неперервністью і рівномірною рівностепеневою неперервністю в тому, що у першому випадку вибір $\delta$ залежить і від $x_0$, і від $\epsilon$. У випадку рівномірної рівностепенової неперервності $\delta$ залежить тільки від $\epsilon$. Часто коли говорять про рівностепеневу неперервність, то під нею розуміють рівномірну рівностепеневу неперервність.

Метричний простір

Наведені означення безпосередньо переносяться на випадок метричних просторів

Нехай $(X,d_X)$, $(Y,d_Y)$ — метричні простори і $C(X,Y)$ — множина всіх неперервних відображень з $X$ в $Y$.

Підмножина відображень $D\subset C(X,Y)$ — рівностепенево неперервна в точці $x_0\in X$, якщо

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta =\delta (\epsilon )>0\mathrm{\forall }x\in X{d}_X(x,x_0)<\delta$

$\mathrm{\forall }{f}_i\in ℱ,d_Y(f(x),f(x_0))<\epsilon .$

Множина $D$ — рівностепенево неперервна, якщо вона рівностепенево неперервна в кожній точці з $X$.

Підмножина відображень $D\subset C(X,Y)$ називається рівномірно рівностепенево неперервною, якщо

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta =\delta (\epsilon )>0\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in X{d}_X(x_1,x_2)<\delta$

$\mathrm{\forall }f\in C(X,Y),d_Y(f(x_1),f(x_2))<\epsilon .$

Більш загально, якщо $X$ — топологічний простір, то множина $F$ відображень з $X$ в $(Y,d_Y)$ називається рівностепенево неперервною в точці $x_0\in X$, якщо

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }{U}_{x_0}\mathrm{\forall }x\in U_{x_0}\mathrm{\forall }f\in F,d_Y(f(x),f(x_0))<\epsilon ,$

де $U_{x_0}$ позначає деякий окіл точки $x_0$.

Властивості

• Якщо $X$ — компактний простір, то множина функцій рівномірно рівностепенево неперервна тоді і тільки тоді, коли вона рівностепенево неперервна.
• Кожна з функцій рівномірно рівностепеневої множини функцій рівномірно неперервна.
• Будь-яка скінченна множина рівномірно неперервних функцій рівномірно рівностепенево неперервна.
• Нехай $\{f_n(x)\},n\in \mathbb{N}$ — рівностепенево неперервна сім'я функцій і $f_n(x)\to f(x)$ поточково для довільного $x$, тоді $f(x)$ — неперервна .

• Нехай $\{f_n(x)\},n\in \mathbb{N}$ — рівностепенево неперервна сім'я функцій з $(X,d_X)$ в повний метричний простір $(Y,d_Y)$ і $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=f(x)$ для всіх $x$ з деякої щільної в $X$ підмножини, тоді $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=f(x)$ для всіх $x\in X$.

• Нехай $X$ — компактний простір і $\{f_n(x)\},n\in \mathbb{N}$ — рівномірно рівностепенево неперервна сім'я функцій і $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=f(x)$ поточково для довільного $x\in X$, тоді $f_n(x)\to f(x)$ рівномірно.

• Згідно узагальненої теореми Арцела якщо $X,Y$ — компактні простори, то підмножина $D\subset C(X,Y)$ компактна в $C(X,Y)$ як метричному просторі наділеному рівномірною метрикою $\rho (f,g)=\underset{x\in X}{\max }{d}_Y(f(x),g(x)),f,g\in C(X,Y),$ тоді і тільки тоді, коли $D$ рівностепенево неперервна.

Приклади

• Послідовність функцій з однаковою константою Ліпшица утворюють (рівномірно) рівностепеневу множину функцій. В частковому випадку такою є множина функцій похідні яких є рівномірно обмеженими.
• Нехай $F(x,y)$ — неперервна на $[a,b]\times [a,b]$ функція. Розглянемо відображення $G:C[a,b]\to C[a,b]$, яке задається формулою

$(G\cdot f)(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}F(x,y)f(y)dy.$

Тоді множина $\{G\cdot f\mid \sup {\mathrm{\backslash nolimits}}_{y\in [a,b]}|f(y)|⩽1\}$ рівностепенево неперервна .

Узагальнення

Рівностепенева неперервність узагальнюється для відображень між топологічними просторами, які наділені так званою рівномірною структурою (у топологічному просторі $X$ вводиться спеціальна топологія — сім'я підмножин з декартового добутку $X\times X$ наділена певними властивостями).

Див. також

• Неперервна функція
• Рівномірна неперервність
• Теорема Асколі — Арцела

Література

• Шаблон:Колмогоров.Фомин

• Шаблон:Книга