Ряд Дайсона

Ряд Дайсона — ряд збурень у теорії розсіяння, кожен із членів якого можна зобразити у вигляді діаграми Фейнмана. Ряд носить ім'я Фрімена Дайсона і є загалом розбіжним, однак, уже другий член цього ряду в квантовій електродинаміці дозволяє отримати точність до 10⁻¹⁰ завдяки малості сталої тонкої структури.

Побудова ряду Дайсона використовує поняття часового упорядкування.

Система

Вивчається система, що описується гамільтоніаном, який є сумою незбуреної частини й збурення:

$\hat{H}={\hat{H}}_0+\hat{V}$

У зображенні взаємодії оператор еволюції хвильової функції $\hat{U}(t,t_0)$ задовольняє рівнянню Томонаги-Швінгера

$i\hslash \frac{\hat{U}(t,t_0)}{dt}=\hat{V}(t)\hat{U}(t,t_0)$,

де

$\hat{V}(t)=e^{i/\hslash {\hat{H}}_{0}t}\hat{V}{e}^{-i/\hslash {\hat{H}}_{0}t},$

або інтегродиференціальному рівнянню

$\hat{U}(t,t_0)=1-\frac{i}{\hslash }\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\hat{V}(t_1)\hat{U}(t_1,t_0)d{t}_1$

Підставляючи оператор еволюції з лівої частини в праву, можна отримати нескінченний ряд:

$\hat{U}(t,t_0)=1-\frac{i}{\hslash }\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\hat{V}(t_1)d{t}_1+\frac{(-i{)}^2}{{\hslash }^2}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}\hat{V}(t_1)\hat{V}(t_2)d{t}_{1}d{t}_2+\dots$

Пропозиція Дайсона

Дайсон запропонував розширити інтегрування в кожному інтегралі від $t_0$ до $t$, але вимагати, щоб оператори завжди були упорядковані в часі, тобто в добутку $\hat{V}(t_1)\hat{V}(t_2)$, наприклад, завжди було $t_1>t_2$. Тоді кожен із доданків ряду збільшиться в $n!$ разів.

Як наслідок n-ний член ряду матиме вигляд:

${\hat{U}}_n=\frac{(-i{)}^n}{n!{\hslash }^n}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}d{t}_1\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}d{t}_2\cdots \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}d{t}_n𝒯\hat{V}(t_1)\hat{V}(t_2)\cdots \hat{V}(t_n).$,

де $𝒯$ - оператор часового упорядкування.

Як наслідок, ряд Дайсона можна записати в компактному вигляді:

$\hat{U}(t,t_0)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\hat{U}}_n(t,t_0)=𝒯e^{-i/\hslash \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}d\tau \hat{V}(\tau )}.$

Джерела

• Шаблон:Cite book