Розподіл Хі

Шаблон:Розподіл ймовірностей У теорії ймовірностей та статистиці розподіл хі є неперервним розподілом ймовірностей. Це розподіл додатньої частини квадратного кореня з суми квадратів набору незалежних випадкових величин, кожна з яких має стандартний нормальний розподіл, або ж еквівалентно, розподіл евклідової відстані випадкових величин від початку координат. Таким чином, це пов'язано з розподілом хі-квадрат, описуючи розподіл додаткової частини квадратного кореня випадкової величини, що має розподіл хі-квадрат.

Якщо $Z_1,\dots ,Z_k$ - $k$ незалежних, нормально розподіленмх випадкових величини із середнім значенням 0 та стандартним відхиленням 1, тоді статистика

$Y=\sqrt{\sum _{i=1}^k{Z}_i^2}$

має розподіл хі. Розподіл хі має один параметр, $k$, яка визначає кількість ступенів свободи (тобто кількість $Z_i$).

Найвідоміші приклади - розподіл Релея (розподіл хі з двома ступенями свободи ) та розподіл Максвелла – Больцмана молекулярних швидкостей в ідеальному газі (розподіл хі з трьома ступенями свободи).

Означення

Функція щільності

Функція густини ймовірності (pdf) хі-розподілу записується

$f(x;k)=\{\begin{array}{cc}\frac{x^{k-1}{e}^{-x^2/2}}{2^{k/2-1}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k}{2}\right)},& x\ge 0;\\ 0,& \text{інакше}.\end{array}$

де $\mathrm{\Gamma }(z)$ є гамма-функція.

Функція розподілу

Функція розподілу задається:

$F(x;k)=P(k/2,x^2/2)$

де $P(k,x)$ - регуляризована гамма-функція.

Твірна функція

Твірна функція моментів задається:

$M(t)=M(\frac{k}{2},\frac{1}{2},\frac{t^2}{2})+t\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }((k+1)/2)}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}M(\frac{k+1}{2},\frac{3}{2},\frac{t^2}{2}),$

де $M(a,b,z)$ є зливною гіпергеометричною функцією Куммера. Характеристична функція задається:

$\phi (t;k)=M(\frac{k}{2},\frac{1}{2},\frac{-t^2}{2})+it\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }((k+1)/2)}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}M(\frac{k+1}{2},\frac{3}{2},\frac{-t^2}{2})$.

Властивості

Моменти

Початкові моменти задаються:

${\mu }_j=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x;k)x^{j}dx=2^{j/2}\frac{\mathrm{\Gamma }((k+j)/2)}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}$

де $\mathrm{\Gamma }(z)$ є гамма-функція. Одже, перші кілька моментів:

${\mu }_1=\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }((k+1)/2)}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}$

${\mu }_2=k$

${\mu }_3=2\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }((k+3)/2)}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}=(k+1){\mu }_1$

${\mu }_4=(k)(k+2)$

${\mu }_5=4\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }((k+5)/2)}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}=(k+1)(k+3){\mu }_1$

${\mu }_6=(k)(k+2)(k+4)$

де найправіші вирази виводяться за допомогою рекуренткого відношення гамма-функції:

$\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)$

З цих виразів ми можна вивести наступні співвідношення:

Середнє: $\mu =\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }((k+1)/2)}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}$

Дисперсія: $V=k-{\mu }^2$

Асиметрія: ${\gamma }_1=\frac{\mu }{{\sigma }^3}(1-2{\sigma }^2)$

Компенсований ексцес: ${\gamma }_2=\frac{2}{{\sigma }^2}(1-\mu \sigma {\gamma }_1-{\sigma }^2)$

Ентропія

Ентропія задається рівнянням:

$S=\ln (\mathrm{\Gamma }(k/2))+\frac{1}{2}(k-\ln (2)-(k-1){\psi }^0(k/2))$

де ${\psi }^0(z)$ - функція полігамми .

Наближення для великих n

Виведемо формули наближень середнього та дисперсії розподілу хі для великих n = k + 1. Вони мають практичне застосування, наприклад, для пошуку розподілу середньоквадратичного відхилення вибірки нормально розподіленої сукупності, де n - обсяг вибірки.

Тоді середнє значення:

$\mu =\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }(n/2)}{\mathrm{\Gamma }((n-1)/2)}$

Застосувавши формулу дублювання Лежандра можемо подати:

$2^{n-2}\mathrm{\Gamma }((n-1)/2)\cdot \mathrm{\Gamma }(n/2)=\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(n-1)$ ,

тож:

$\mu =\sqrt{2/\pi }{2}^{n-2}\frac{(\mathrm{\Gamma }(n/2){)}^2}{\mathrm{\Gamma }(n-1)}$

Використовуючи наближення Стірлінга для гамма-функції, отримаємо наступний запис середнього:

$\mu =\sqrt{2/\pi }{2}^{n-2}\frac{{(\sqrt{2\pi }(n/2-1{)}^{n/2-1+1/2}{e}^{-(n/2-1)}\cdot [1+\frac{1}{12(n/2-1)}+O(\frac{1}{n^2})])}^2}{\sqrt{2\pi }(n-2{)}^{n-2+1/2}{e}^{-(n-2)}\cdot [1+\frac{1}{12(n-2)}+O(\frac{1}{n^2})]}$

$=(n-2{)}^{1/2}\cdot [1+\frac{1}{4n}+O(\frac{1}{n^2})]=\sqrt{n-1}(1-\frac{1}{n-1}{)}^{1/2}\cdot [1+\frac{1}{4n}+O(\frac{1}{n^2})]$

$=\sqrt{n-1}\cdot [1-\frac{1}{2n}+O(\frac{1}{n^2})]\cdot [1+\frac{1}{4n}+O(\frac{1}{n^2})]$

$=\sqrt{n-1}\cdot [1-\frac{1}{4n}+O(\frac{1}{n^2})]$

Отже, дисперсія задається:

$V=(n-1)-{\mu }^2=(n-1)\cdot \frac{1}{2n}\cdot [1+O(\frac{1}{n})]$

Пов’язані розподіли

• Якщо $X\sim {\chi }_k$ тоді $X^2\sim {\chi }_k^2$ (розподіл хі-квадрат)
• $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{\chi }_k-{\mu }_k}{{\sigma }_k}\stackrel{d}{\to }N(0,1)$ (Нормальний розподіл)
• Якщо $X\sim N(0,1)$ тоді $|X|\sim {\chi }_1$
• Якщо $X\sim {\chi }_1$ тоді $\sigma X\sim HN(\sigma )$ (напівнормальний розподіл) для будь-якого $\sigma >0$
• ${\chi }_2\sim \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}(1)$ (Розподіл Релея)
• ${\chi }_3\sim \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}(1)$ (Розподіл Максвелла)
• $\Vert {𝑵}_{i=1,\dots ,k}(0,1){\Vert }_2\sim {\chi }_k$ (2-норма $k$ стандартним нормально розподіленим змінним є розподіл хі з $k$ ступені свободи)
• розподіл хі - це окремий випадок узагальненого гамма розподілу або розподілу Накагамі або нецентрального розподілу чі
• Середнє значення розподілу хі (масштабоване квадратним коренем з $n-1$) дає корегувальний коефіцієнт для незміщеної оцінки середньоквадратичного відхилення нормального розподілу.

Різні хі та хі-квадрат розподіли

Name	Statistic
Розподіл хі-квадрат	$\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i-{\mu }_i}{{\sigma }_i}\right)}^2$
Нецентрований хі-квадрат розподіл	$\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i}{{\sigma }_i}\right)}^2$
Розподіл хі	$\sqrt{\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i-{\mu }_i}{{\sigma }_i}\right)}^2}$
Нецентрований хі розподіл	$\sqrt{\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i}{{\sigma }_i}\right)}^2}$

Див. також

• Розподіл Накаґамі

Список літератури

• Martha L. Abell, James P. Braselton, John Arthur Rafter, John A. Rafter, Statistics with Mathematica (1999), 237f. Шаблон:Webarchive
• Jan W. Gooch, Encyclopedic Dictionary of Polymers vol. 1 (2010), Appendix E, p. 972 Шаблон:Webarchive.

Зовнішні посилання

• http://mathworld.wolfram.com/ChiDistribution.html Шаблон:Webarchive